座標上の外分点を求める公式とその証明 / 数学II by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2014-05-02
	座標上の外分点を求める公式とその証明
著作名：ふぇるまー 20,145 views

座標上の外分点

数直線上の外分点が理解できたら次は、座標上の外分点を求める方法をみていきます。

上図のようなA(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)を結んでできた線分ABを"m：n"に外分する点をQ(x、y)としたとき、その座標は次のように表すことができる。

$x= \frac{-nx _{1} +mx _{2} }{m-n}$
$y= \frac{-ny _{1} +my _{2} }{m-n}$

公式の証明

x座標

まずx座標を求める式から導いていきます。
図のように、直角三角形AQRを作ります。また、BからARに垂線をおろし、その交点をCとします。このとき、BC//QRなので、

"AQ：QB＝AR：RC＝m：n"　ー①

さらに、点A、B、Qからx軸に垂線をおろし、それぞれの交点を「A'、B'、Q'」とします。このとき、「AR＝A'Q'、RC＝Q'B'」なので、①より

A'Q'：Q'B'＝m：n

であることがわかりました。
AとA'のx座標、BとB'のx座標、QとQ'のx座標は同じであることから、A'B'をm：nに外分する点Q'のx座標は、線分ABをm：nに外分する点Qのx座標と等しくなります。

A'B'をm：nに外分する点Q'のx座標は、数直線上の外分点を求める方法で求められますね。

$x= \frac{-nx _{1} +mx _{2} }{m-n}$

y座標

続いてy座標を求める式を導いていきます。
今度は点A、B、Qからy軸に垂線をおろし、それぞれの交点を「A"、B"、Q"」とします。
x軸のときと同様に考えると、「A"Q"：Q"B"＝m：n」となります。

AとA"のy座標、BとB"のy座標、QとQ"のy座標は同じであることから、A"B"をm：nに外分する点Q"のy座標は、線分ABをm：nに外分する点Qのy座標と等しくなります。

A"B"をm：nに外分する点Q"のy座標は、数直線上の外分点を求める方法で求められますね。

$y= \frac{-ny _{1} +my _{2} }{m-n}$

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