mとnを異なる正の数とします。
図のように、線分ABの外に点Qがあり、"AQ：QB＝m：n"となるとき、



といいます。そして点Qのことを、内外分点といいます。




数直線上の２つの点を、"A(a)、B(b)"とし、ABを"m：n"に外分する点を"Q(x)"としたとき、xの値を求める公式があります。



例えば、A(１)、B(５)で、線分ABを３：１に外分する点をQ(x)とすると、



"x＝７"となります。実際に数直線をかいてみると



AQの長さは、７−１＝６
BQの長さは、７−５＝２

"AQ：QB＝６：２＝３：１"となりますね。


では、この公式の証明をしていきましょう。



公式の証明には、次の２パターンを考えていきます。

・BがAよりも大きい場合(a＜b)
・AがBよりも大きい場合(a＞b)


"a＜b"ということは、数直線上の点"A、B、Q"の位置関係は図のようになります。



AQの長さは、AQ＝x−a
QBの長さは、QB＝x−b

AQ：QB＝m：nなので、

x−a：x−b＝m：n
n(x−a)＝m(x−b)
nx−na＝mx−mb
mx−nx＝−na＋mb
x(m−n)＝−na＋mb




"a＞b"ということは、数直線上の点"A、B、Q"の位置関係は図のようになります。



AQの長さは、AQ＝a−x
QBの長さは、QB＝b−x

AQ：QB＝m：nなので、

a−x：b−x＝m：n
n(a−x)＝m(b−x)
na−nx＝mb−mx
mx−nx＝−na＋mb
x(m−n)＝−na＋mb




ちなみに外分点では、m＝nとなることはありません。