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外分点の公式とその証明[数直線上] |
著作名:
ふぇるまー
32,941 views |
外分点とは
mとnを異なる正の数とします。
図のように、線分ABの外に点Qがあり、"AQ:QB=m:n"となるとき、
点Qは、線分ABをm:nに外分する
といいます。そして点Qのことを、内外分点といいます。
外分点の座標を求める公式
数直線上の2つの点を、"A(a)、B(b)"とし、ABを"m:n"に外分する点を"Q(x)"としたとき、xの値を求める公式があります。
例えば、A(1)、B(5)で、線分ABを3:1に外分する点をQ(x)とすると、
"x=7"となります。実際に数直線をかいてみると
AQの長さは、7−1=6
BQの長さは、7−5=2
"AQ:QB=6:2=3:1"となりますね。
公式の証明
では、この公式の証明をしていきましょう。
公式の証明には、次の2パターンを考えていきます。
・BがAよりも大きい場合(a<b)
・AがBよりも大きい場合(a>b)
BがAよりも大きい場合(a<b)
"a<b"ということは、数直線上の点"A、B、Q"の位置関係は図のようになります。
AQの長さは、AQ=x−a
QBの長さは、QB=x−b
AQ:QB=m:nなので、
x−a:x−b=m:n
n(x−a)=m(x−b)
nx−na=mx−mb
mx−nx=−na+mb
x(m−n)=−na+mb
AがBよりも大きい場合(a>b)
"a>b"ということは、数直線上の点"A、B、Q"の位置関係は図のようになります。
AQの長さは、AQ=a−x
QBの長さは、QB=b−x
AQ:QB=m:nなので、
a−x:b−x=m:n
n(a−x)=m(b−x)
na−nx=mb−mx
mx−nx=−na+mb
x(m−n)=−na+mb
ちなみに外分点では、m=nとなることはありません。
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