[正四面体]空間図形に含まれる三角形の面積を求める問題 / 数学I by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2014-04-24
	[正四面体]空間図形に含まれる三角形の面積を求める問題
著作名：ふぇるまー 44,492 views

正四面体に含まれる三角形の面積を求める問題

図のように、正四面体ABCDにおいて、辺CDの中点を"M"とします。またAからBMに垂線をおろし、その交点を"H"とします。"∠AMB＝θ"、"AB＝a"とするとき、次の値を求めなさい。

(１) cosθ
(２) cosABM
(３) AH
(４) △ABMの面積S

(１) cosθ

cosθを求めるために、△ABMに余弦定理を適用できないかを考えます。ABCDが正四面体であることから、△BCDと△ACDは正三角形なので、

・BC＝AC＝a
・∠BCM＝∠ACM＝６０°

これを用いると、AMとDMの長さを求めることができそうですね。この２つの値が求まれば△ABMに余弦定理を適用できそうなので、AMとBMの長さを求めるところから始めましょう。

△ACMは、∠AMC＝９０°とする直角三角形なので、

$\sin ACM= \frac{AM}{AC}$

CA＝a、∠ACM＝６０°より、

$AM=a \sin 60 ^{ \circ } = \frac{ \sqrt{3} }{2} a$

正三角形BCDにおいてMはCDの中点であることから、∠BMC＝９０°。
このことから△BCMにおいても△ACMと同様にして、

$BM = \frac{ \sqrt{3} }{2} a$

△ABMに余弦定理を適用します。
"AB²＝AM²＋BM²−２・AM・BM・cosθ"より

$\cos \theta = \frac{AM ^{2} +BM ^{2} -AB ^{2} }{2 \cdot AM \cdot BM}$

$AM ^{2} +BM ^{2} -AB ^{2} = \left( \frac{ \sqrt{3} }{2} a\right) ^{2} + \left( \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) ^{2} -a ^{2} = \frac{1}{2} a ^{2}$

$2 \cdot AM \cdot BM=2 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} a \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} a= \frac{3}{2} a ^{2}$

よって

$\cos \theta = \frac{AM ^{2} +BM ^{2} -AB ^{2} }{2 \cdot AM \cdot BM} = \frac{1}{2} a ^{2} \div \frac{3}{2} a ^{2} = \frac{1}{3}$

(２) cosABM

(１)で求めた値をもとに、△ABMにおいて∠ABMに注目をして余弦定理を適用します。

"AM²＝AB²＋BM²−２・AB・BM・cosABM"より

$\cos ABM = \frac{AB ^{2} +BM ^{2} -AM ^{2} }{2 \cdot AB \cdot BM}$

$AB ^{2} +BM ^{2} -AM ^{2} = a ^{2} + \left( \frac{ \sqrt{3} }{2} a\right) ^{2} - \left( \frac{ \sqrt{3} }{2} a\right) ^{2} = a ^{2}$

$2 \cdot AB \cdot BM=2 \cdot a \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} a = { \sqrt{3} } a ^{2}$

よって

$\cos ABM = \frac{AB ^{2} +BM ^{2} -AM ^{2} }{2 \cdot AB \cdot BM} = a ^{2} \div \sqrt{3} a ^{2} =a ^{2} \times \frac{1}{ \sqrt{3} a ^{2} } = \frac{1}{ \sqrt{3} }$

(３) AH

△AMHは、∠AHM＝９０°とする直角三角形なので、

$\sin \theta = \frac{AH}{AM}$

変形すると、"AH＝AM・sinθ"　ー①

(１)より、

$AM= \frac{ \sqrt{3} }{2} a$

また、

$\cos \theta = \frac{1}{3}$

なので、sin²A＋cosA²＝１"の公式より、
$sin ^{2} \theta =1- \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} = \frac{8}{9}$

０°＜θ＜１８０°の範囲で"sinθ＞０"なので

$sin \theta = \frac{2 \sqrt{2} }{3}$

これらを①に代入すると、

$AH= \frac{ \sqrt{3} }{2} a \frac{ \times 2 \sqrt{2} }{3} = \frac{ \sqrt{6} }{3} a$

(４) △ABMの面積S

(１)と(３)より、△ABMの底辺と高さがわかりました。

$S= \frac{1}{2} \times BM \times AH= \frac{1}{2} \times \frac{ \sqrt{3} a}{2} \times \frac{ \sqrt{6} }{3} a= \frac{ \sqrt{2} a ^{2} }{4}$

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