三角形の内接円の半径を求める練習問題 / 数学I by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2014-12-22
	三角形の内接円の半径を求める練習問題
著作名：ふぇるまー 118,547 views

三角形の内接円の半径を求める

AB＝３、BC＝５、CA＝７の三角形ABCに内接する円の半径ｒの値を求めなさい。

与えられた条件で図をイメージしてかくとこのようになります。
(※あくまでもイメージで、この角の割合が正しいかはわかりません。)

AB、BC、CAの長さがわかっているので、余弦定理とsin²A＋cosA²＝１"の公式、サインを使って三角形の面積を求める公式を用いて△ABCの面積を求めることができます。

また、内接円をもつ三角形の面積を求める公式

$S= \frac{1}{2} r \left(a+b+c\right)$

を用いても三角形の面積を求めることができるので、この２つをすり合わせて"ｒ"を求めていきます。

△ABCにおいて、∠Bに注目をして余弦定理を用いると、

７²＝３²＋５²－２・３・５・cosB
４９＝９＋２５－３０cosB

これを整理すると
$\cos B= -\frac{15}{30} = -\frac{1}{2}$

続いてsin²A＋cosA²＝１"より

$\sin ^{2} B=1- (- \frac{1}{2} ) ^{2}$

$\sin ^{2} B= \frac{3}{4}$

０°＜B＜１８０°の範囲では、"sinB＞０"なので

$\sin B= \frac{ \sqrt{3} }{2}$

最後に、サインを使って三角形の面積を求める公式より

$S= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{15 \sqrt{3} }{4}$

一方で、内接円をもつ三角形の面積を求める公式より

$S= \frac{1}{2} r ( 3+5+7 ) =\frac{15}{2} r$

いま求めた２つの面積は同じ大きさであることから

$\frac{15}{2} r= \frac{15 \sqrt{3} }{4}$

$r= \frac{ \sqrt{3} }{2}$

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