ヘロンの公式の証明と例題 / 数学I by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2015-12-15
	ヘロンの公式の証明と例題
著作名：ふぇるまー 49,702 views

ヘロンの公式

三角形の面積を求める公式にヘロンの公式というものがあります。これまで

底辺×高さ÷２

サインを使って三角形の面積を求める公式
$S= \frac{1}{2} bc \sin A= \frac{1}{2} ca \sin B= \frac{1}{2} ab \sin C$

内接円をもつ三角形の面積を求める公式
$S= \frac{1}{2} r \left(a+b+c\right)$

と三角形の面積を求める公式をたくさん学んできましたが、数学Ⅰで学習する三角形の面積を求める公式は、これで最後になります。

図のような△ABCの面積をS、そして"a＋b＋c＝２s"としたとき

$S= \sqrt{s \left(s-a\right) \left(s-b\right) \left(s-c\right) }$

これがヘロンの公式です。

ヘロンの公式の証明

ではこの公式を証明していきましょう。

△ABCにおいて、余弦定理より"a²＝b²＋c²−２b・c・cosA"なので

$\cos A= \frac{b ^{2} +c ^{2} -a ^{2} }{2bc}$ 　ー①

続いてsin²A＋cosA²＝１"の公式より

$\sin ^{2} A+ \cos ^{2} A=1$
$\sin ^{2} A=1- \cos ^{2} A= \left(1+ \cos A\right) \left(1- \cos A\right)$

これに①を代入すると

$\sin ^{2} A= \left(1+ \frac{b ^{2} +c ^{2} -a ^{2} }{2bc} \right) \left(1- \frac{b ^{2} +c ^{2} -a ^{2} }{2bc} \right)$

$\sin ^{2} A= \left( \frac{2bc+b ^{2} +c ^{2} -a ^{2} }{2bc} \right) \left( \frac{2bc-b ^{2} -c ^{2} +a ^{2} }{2bc} \right)$

$\sin ^{2} A= \frac{ (b+c) ^{2} -a ^{2} }{2bc} \times \frac{a ^{2} - (b-c) ^{2} }{2bc}$

$\sin ^{2} A= \frac{ \left(b+c+a\right) \left(b+c-a\right) }{2bc} \times \frac{ \left(a-b+c\right) \left(a+b-c\right) }{2bc}$

$\sin ^{2} A= \frac{ \left(b+c+a\right) \left(b+c-a\right) \left(a-b+c\right) \left(a+b-c\right) }{4b ^{2} c ^{2} }$

ここで"a＋b＋c＝２s"とすると、

b＋c−a＝a＋b＋c−２a＝２s−２a＝２(s−a)　ー②

a−b＋c＝a＋b＋c−２b＝２s−２b＝２(s−b)　ー③

a＋b−c＝a＋b＋c−２c＝２(s−c)　ー④

$\sin ^{2} A= \frac{ \left(b+c+a\right) \left(b+c-a\right) \left(a-b+c\right) \left(a+b-c\right) }{4b ^{2} c ^{2} }$

に②、③、④を代入すると

$\sin ^{2} A= \frac{2s \times 2 (s-a) \times 2 (s-b) \times 2 (s-c) }{4b ^{2} c ^{2} }$

$\sin ^{2} A= \frac{16s (s-a) (s-b) (s-c) }{4b ^{2} c ^{2} }$

$\sin ^{2} A= \frac{4s (s-a) (s-b) (s-c) }{b ^{2} c ^{2} }$

０°＜A＜１８０°の範囲で、"sinA＞０"なので

$\sin A= \frac{2 \sqrt{s (s-a) (s-b) (s-c) } }{bc}$

これを、サインを使って三角形の面積を求める公式に代入します。

$S= \frac{1}{2} bc \sin A= \frac{1}{2} bc \cdot \frac{2 \sqrt{s \left(s-a\right) \left(s-b\right) \left(s-c\right) } }{bc}$

これを整理すると

$S= \sqrt{s \left(s-a\right) \left(s-b\right) \left(s-c\right) }$

が成り立つことがわかります。ただしこの公式が成り立つのは、公式を導くときに仮定した、"a＋b＋c＝２s"のときです。

練習問題

a＝４、b＝５、c＝７の△ABCの面積Sを求めなさい。

ヘロンの公式を学習するまでは、例えば、余弦定理を用いてcosAの値を求め、そこからsin²A＋cosA²＝１"の公式を用いてsinAの値を出し、サインを使って三角形の面積を求める公式を使って三角形の面積を算出しました。

ヘロンの公式があれば、次のように計算できます。

"a＋b＋c＝２s"としたとき
s＝(４＋５＋７)÷２＝８

ヘロンの公式より、△ABCの面積Sは、
$\sqrt{8 \left(8-4\right) \left(8-5\right) \left(8-7\right) } =4 \sqrt{6}$

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