[三角形の内接円]三角形の面積を求める公式の証明 / 数学I by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2014-04-23
	[三角形の内接円]三角形の面積を求める公式の証明
著作名：ふぇるまー 84,383 views

内接円とは

図のように、三角形の３辺に接する円のことを、△ABCの内接円といいます。
△ABCの面積を"S"、その内接円の半径を"r"としたとき、次の公式が成り立ちます。

$S= \frac{1}{2} r \left(a+b+c\right)$

この公式を証明していきましょう。

公式の証明

まず円の中心Oから、三角形の各辺に垂線をおろします。これはすべて円の半径に相当するので、長さはすべて"r"となります。

そして、円の中心Oから、A、B、Cに補助線を引きます。

このとき、

△ABC＝△OBC＋△OCA＋△OAB　ー①

三角形の面積を求める公式「底辺×高さ÷２」より

$\bigtriangleup OBC= \frac{1}{2} \times a \times r= \frac{1}{2} ar$
$\bigtriangleup OCA= \frac{1}{2} \times b \times r= \frac{1}{2} br$
$\bigtriangleup OAB= \frac{1}{2} \times c \times r= \frac{1}{2} cr$

以上のことを①に代入すると
$\bigtriangleup ABC= \frac{1}{2} ar+ \frac{1}{2} br+ \frac{1}{2} cr= \frac{1}{2} r \left(a+b+c\right)$

よって公式が成り立つことが証明されました。

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