△ABCにおいて、図のように"a、b、c"と"∠A、∠B、∠C"を定めたとき、次の定理が成り立ちます。



余弦(つまりコサイン)を使った定理なので、余弦定理といいます。
ではこの余弦定理が本当に成り立つか証明してみましょう。


余弦定理を証明するためには、△ABCにおいて次の３パターンを考える必要があります。

・∠Aと∠Bが鋭角の場合
・∠Aが鈍角の場合
・∠Bが鈍角の場合

ここでは、「∠Aと∠Bが鋭角の場合」の証明をしていきます。
("∠Aが鈍角の場合"、"∠Bが鈍角の場合")




∠Aと∠Bが鋭角となる三角形を図示すると、このようになります。
この三角形で余弦定理を証明するために、次のように△ABCを座標上で考えるとします。



AとBの座標はそれぞれ"A(０,０)、B(c,０)"とわかりますが、Cの座標がぱっと見ではわからないので、まずはcの座標を求めるとします。

点Cからx軸に向かって垂線をおろし、x軸との交点をHとします。


このとき△ACHでサインとコサインを考えると


整理すると



整理すると


以上から、点Cの座標はC(b cosA,b sinA)であることがわかりました。


次に、△BCHに三平方の定理を適応します。

BC²＝CH²＋BH²

・"BC＝a"
・CHはCのy座標に等しいので、"CH＝b sinA"
・BH＝BA−HAより、"BH＝c−b cosA"

a²＝(b sinA)²＋(c−b cosA)²
a²＝b² sin²A＋c²−２bc cosA＋b² cosA²
a²＝b²(sin²A＋cosA²)＋c²−２bc cosA

このとき、三角比の公式より
"sin²A＋cosA²＝１"なので

a²＝b²(sin²A＋cosA²)＋c²−２bc cosA
a²＝b²＋c²−２bc cosA

∠Bと∠Cにおいても同様にして公式を導くことができます。

以上から、∠Aと∠Bが鋭角の場合に余弦定理が成り立つことが証明されました。
次のテキストでは、∠Aが鈍角の場合の証明をしていきます。