解の和が１、積が３/４となる２次方程式とその解を求める問題 / 数学II by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2014-03-12
	解の和が１、積が３/４となる２次方程式とその解を求める問題
著作名：ふぇるまー 12,846 views

与えられた２数を解とする２次方程式の応用

解の和が"１"、積が"３/４"となる２次方程式とその解を求めなさい

■２次方程式を求める

求める２次方程式の解をα、βとおくと、解と係数の関係により

$\alpha + \beta =1$
$\alpha \beta = \frac{3}{4}$

また、与えられた２数を解とする２次方程式を求める方法により、求める２次方程式は

"(x−α)(x−β)＝０"

とすることができます。"(x−α)(x−β)＝０"を展開すると

"(x−α)(x−β)＝x²−(α＋β)＋αβ＝０"

"α＋β＝１、αβ＝３/４"を代入して

$x ^{2} -x+ \frac{3}{4} =0$

が求める２次方程式となります。
続いてこの２次方程式の解を求めましょう。

■２次方程式の解を求める

$x ^{2} -x+ \frac{3}{4} =0$
だと計算がしづらいので、両辺に４をかけます。

$4x ^{2} -4x+3=0$

解の公式を用いて答えを求めます。

$x=- \frac{-4}{2 \cdot 4} \pm \frac{ \sqrt{16-4 \cdot 4 \cdot 3} }{2 \cdot 4}$

$= \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt{-32} }{8}$

$= \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt{32} i}{8}$

$= \frac{1}{2} \pm \frac{4 \sqrt{2} i}{8}$

$= \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt{2} i}{2}$

この値が２次方程式の解となります。

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