解と係数の関係を用いた練習問題[虚数解をもつ２次方程式ver.] / 数学II by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2014-03-12
	解と係数の関係を用いた練習問題[虚数解をもつ２次方程式ver.]
著作名：ふぇるまー 20,329 views

解と係数の関係

２次方程式"ax²＋bx＋c＝０"の２つの解を"α"と"β"としたとき、
$\alpha + \beta =- \frac{b}{a}$
$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

というのが解と係数の関係でした。
ここでは、練習問題を通してこの関係の使い方をみていきましょう。

練習問題

２次方程式"２x²＋３x＋４＝０"の２つの解をαとβとしたとき、次の式の値を求めなさい。
(１) (α＋β)²
(２) α³＋β³

■(１) (α＋β)²

計算を始める前に、解と係数の関係から、"α＋β","αβ"の値を求めておきましょう。

$\alpha + \beta =- \frac{3}{2}$
$\alpha \beta = \frac{4}{2} =2$

"(α＋β)²"は、いま求めたものを代入するだけで計算できますね。

$\left( \alpha + \beta \right) ^{2} = \left(- \frac{3}{2} \right) ^{2} = \frac{9}{4}$

■(２) α³＋β³

３次の展開の公式より

(a＋b)³＝a³＋３a²b＋３ab²＋b³

なので

"α³＋β³＝(α＋β)³−３α²β−３αβ²＝(α＋β)³−３αβ(α＋β)"

これに先ほど求めた値を代入する。

$\alpha ^{3} + \beta ^{3} = \left(- \frac{3}{2} \right) ^{3} -3 \cdot 2 \cdot \left(- \frac{3}{2} \right)$

$=- \frac{27}{8} +9$

$=- \frac{27}{8} + \frac{72}{8}$

$= \frac{45}{8}$

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