２次関数"y＝ax²＋bx＋c"と直線"y＝a'x＋b'"の共有点を求めるには、２つの式を連立させて、２つの式を同時に満たすxとyの値を求めるんでしたね。

ここでは応用編で、"y＝−x²＋２"と"y＝−４x＋k"が共有点を持つためのkの範囲について考えてみたいと思います。共有点の座標を求めるのではなくて、kの値の範囲を求めるという点がこれまでとは異なる点ですね。難しそうな問題ですが、実は解くための順番が決まっているので、しっかりとパターンを覚えるようにしましょう。



y＝−x²＋２
y＝−４x＋k

を連立させて整理します。

−x²＋２＝−４x＋k
x²−４x＋k−２＝０　ー①


①で求まった２次方程式に、判別式Dを用います。

２次関数のグラフとx軸との共有点の数を調べるのと同様に、D＞０であれば共有点は２つ、D＝０であれば共有点は１つ、D＜０であれば共有点はなしとなります。

D＝b²−４acにa＝１、b＝−４、c＝k−２を代入します。
(−４)²−４・１・(k−２)＝１６−４k＋８＝２４−４k

共有点を持つためには、D≧０であればよいので
２４−４k≧０
−４k≧ー２４
k≦６

つまり"k≦６"のときに"y＝−x²＋２"と"y＝−４x＋k"が共有点を持つことになります。