２倍角の公式　tan2α=2tanα/(1-tan²α)の証明と例題 / 数学II by となりがトトロ |マナペディア|

更新日時：2013-09-20
	２倍角の公式　tan2α=2tanα/(1-tan²α)の証明と例題
著作名：となりがトトロ 22,545 views

tan2α=2tanα/(1-tan²α)の証明

２倍角の公式のうち、tan2α=2tanα/(1-tan²α)の証明を行っていきますが、証明を行う前にtan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanαtanβ）が成り立つことを理解しておきましょう。加法定理が成り立つことを前提に証明をしていきます。

証明

tan2αを変形して
$\tan 2 \alpha = \tan \left( \alpha + \alpha \right)$
とします。ここに加法定理を用いると、

$\tan \left( \alpha + \alpha \right) = \frac{ \tan \alpha +\tan \alpha }{1- \tan \alpha \tan \alpha } = \frac{ 2 \tan \alpha }{1- \tan ^{2} \alpha }$

以上のことから
$\tan 2 \alpha == \frac{ 2\tan \alpha }{1- \tan ^{2} \alpha }$

が成り立つことがわかる。
証明おわり。

練習問題

sinα=1/2のとき、tan2αの値を求めよ。
ただし、0°≦α≦90°とする。

２倍角の公式より、tan2αは、
$\tan 2 \alpha == \frac{ 2 \tan \alpha }{1- \tan ^{2} \alpha }$
を用いれば求まることがわかっている。まずはtanαの値を求めなければならない。

sin、cos、tanの関係式に
$\tan \alpha = \frac{ \sin \alpha }{ \cos \alpha }$
があるので、まずはcosαの値を求めてから、tanαを計算するようにする。

sinとcosの関係式に、
$\sin ^{2} \alpha + \cos ^{2} \alpha =1$
があるので、これを使ってcosの値を求めていく。

sinα=1/2なのでこれを代入して
$\left( \frac{1}{2} \right) ^{2} + \cos ^{2} \alpha =1$
$\cos ^{2} \alpha =1- \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

ここで、0°≦α≦90°よりcosα＞0なので
$\cos \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

cosαの値が求まったので、
$\tan \alpha = \frac{ \sin \alpha }{ \cos \alpha }$
にsinαとcosαの値を代入して、tanαを求める。

$\tan \alpha = \frac{1}{2} \div \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{ \sqrt{3} } = \frac{1}{ \sqrt{3} }$

あとは２倍角の公式にtanαの値を代入して、tan2αの値を求める。
$\tan 2 \alpha = \left(2 \times \frac{1}{ \sqrt{3} } \right) \div \left(1- \left( \frac{1}{ \sqrt{3} } \right) ^{2} \right)$
$= \frac{2}{ \sqrt{3} } \div \frac{2}{3}$
$= \frac{2}{ \sqrt{3} } \times \frac{3}{2}$
$= \frac{3}{ \sqrt{3} }$
$= \sqrt{3}$

答え：tan2α=√3

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