２倍角の公式　cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²αの証明と例題 / 数学II by となりがトトロ |マナペディア|

更新日時：2013-09-20
	２倍角の公式　cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²αの証明と例題
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cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²αの証明

２倍角の公式のうち、
$\cos 2 \alpha = \cos ^{2} \alpha - \sin ^{2} \alpha =2 \cos ^{2} \alpha -1=1-2 \sin ^{2} \alpha$
の証明を行っていきますが、証明を行う前にcos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβが成り立つことを理解しておきましょう。加法定理が成り立つことを前提に証明をしていきます。

証明

cos2αを変形して
$\cos 2 \alpha = \cos \left( \alpha + \alpha \right)$
とします。ここに加法定理を用いると、

$\cos \left( \alpha + \alpha \right) = \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha = \cos ^{2} \alpha - \sin ^{2} \alpha$ 　　－①

ということで、まず１つめが成り立つことがわかりました。
次にsinとcosの関係からsin²α+cos²α=1なので、これを変形した、sin²α=1-cos²αを①に代入すると

$\cos ^{2} \alpha - \sin ^{2} \alpha = \cos ^{2} \alpha - \left(1- \cos ^{2} \alpha \right) = \cos ^{2} \alpha + \cos ^{2} \alpha -1=2 \cos ^{2} \alpha -1$

が成り立つことがわかりました。
最後に、さっきと同じようにしてsin²α+cos²α=1を変形した、cos²α=1-sin²αを①に代入すると

$\cos ^{2} \alpha - \sin ^{2} \alpha =1- \sin ^{2} \alpha - \sin ^{2} \alpha =1-2 \sin ^{2} \alpha$

以上のことから
$\cos 2 \alpha = \cos ^{2} \alpha - \sin ^{2} \alpha =2 \cos ^{2} \alpha -1=1-2 \sin ^{2} \alpha$

が成り立つことがわかる。

証明おわり。

練習問題

sinα=1/2のとき、cos2αの値を求めよ。

２倍角の公式より、cos2αは、
$\cos 2 \alpha = \cos ^{2} \alpha - \sin ^{2} \alpha =2 \cos ^{2} \alpha -1=1-2 \sin ^{2} \alpha$
を用いれば求まることがわかっている。sinαの値がわかっているので、ここでは、
$\cos 2 \alpha = 1-2 \sin ^{2} \alpha$
を用いてcos2αの値を求めていく。

$\cos 2 \alpha =1-2 \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} =1- \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

答え：cos2α=1/2

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