加法定理の証明　cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβの証明 / 数学II by となりがトトロ |マナペディア|

更新日時：2013-09-19
	加法定理の証明　cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβの証明
著作名：となりがトトロ 50,190 views

cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβの証明

図のように、半径が１の単位円上に、点Ｐと点Ｑをとります。（自由にとります）
ＯＰとｘ軸とのなす角をα、ＯＱとｘ軸とのなす角をβとしたとき、ＯＰとＯＱのなす角はα－βとなります。そしてＰの座標は(cosα,sinα)、Ｑの座標は(cosβ,sinβ)となります。

証明

準備ができたところで証明にうつります。
△ＯＰＱにおいて余弦定理より

$PQ ^{2} =OP ^{2} +OQ ^{2} -2OP \cdot OQ \cos \left( \alpha - \beta \right)$

ＯＰとＯＱはともに、半径を１とする単位円の半径と同じ長さなので
$PQ ^{2} =1 ^{2} +1 ^{2} -2 \cos \left( \alpha - \beta \right)$
$PQ ^{2} =2-2 \cos \left( \alpha - \beta \right)$ 　　－①

次にＰＱの長さを考えます。
Ｐ(cosα,sinα)、Ｑ(cosβ,sinβ)なので

$PQ ^{2} = \left( \cos \beta - \cos \alpha \right) ^{2} + \left( \sin \beta - \sin \alpha \right) ^{2}$
$PQ ^{2} = \cos ^{2} \beta -2 \cos \alpha \cos \beta + \cos ^{2} \alpha + \sin ^{2} \beta - 2\sin \alpha \sin \beta + \sin ^{2} \alpha$
$PQ ^{2} = \sin ^{2} \alpha + \cos ^{2} + \sin ^{2} \beta + \cos ^{2} \beta -2 \sin \alpha \sin \beta -2 \cos \alpha \cos \beta$

$\sin ^{2} \alpha + \cos ^{2} \alpha =1$
$\sin ^{2} \beta + \cos ^{2} \beta =1$
わからないときはここ

なので、この式は
$PQ ^{2} =1+1-2 \sin \alpha \sin \beta -2 \cos \alpha \cos \beta$
$PQ ^{2} =2-2 \sin \alpha \sin \beta -2 \cos \alpha \cos \beta$ 　　－②

①と②より
$2-2 \cos \left( \alpha - \beta \right) =2-2 \sin \alpha \sin \beta -2 \cos \alpha \cos \beta$
$1- \cos \left( \alpha - \beta \right) =1- \sin \alpha \sin \beta - \cos \alpha \cos \beta$
$\cos \left( \alpha - \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

証明おわり。

このテキストを評価してください。

役に立った

う～ん・・・

※テキストの内容に関しては、ご自身の責任のもとご判断頂きますようお願い致します。

つながりのあるテキスト

加法定理の証明　cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβの証明

このテキストのキーワード

同じカテゴリーのテキスト

２倍角の公式　sin2α=2sinαcosαの証明と例題

三角関数の合成公式（合成関数）の証明 asinθ+bcosθ=√a²+b²sin(θ+α)

加法定理の証明　sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβの証明

２倍角の公式　tan2α=2tanα/(1-tan²α)の証明と例題

２倍角の公式　cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²αの証明と例題

最近見たテキスト

加法定理の証明　cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβの証明

10分前以内

デイリーランキング

	『鴻門之会・剣の舞』(沛公旦日従百余騎〜)わかりやすい現代語訳・書き下し文と解説	>
	徒然草冒頭「つれづれなるままに〜」の現代語訳と解説・品詞分解	>
	順列（Ｐ）と組み合わせ（Ｃ）のちがい	>
4	源氏物語『桐壷・光源氏の誕生（いづれの御時にか〜）』の現代語訳・解説	>
5	"＜"、"＞"、"≦"、"≧"の意味と読み方数学の記号	>
6	『ゆく川（河）の流れ』　方丈記　わかりやすい現代語訳と解説	>
7	『鴻門之会・樊噲、頭髪上指す』(於是張良至軍門、見樊噲〜)わかりやすい現代語訳・書き下し文と解説	>
8	更級日記『門出・東路の道の果て』(東路の道の果てよりも〜)わかりやすい現代語訳と解説	>
9	再読文字の一覧～未・将・当・応～読み方と書き下し文・使い方	>
10	源氏物語「若紫・北山の垣間見・若紫との出会い（日もいと長きにつれづれなれば〜）」の現代語訳・解説	>

注目テキスト

杜牧『江南春（江南の春）』原文・書き下し文・現代語訳（口語訳）と解説	>
期待値、分散、標準偏差を求める基本的な問題	>
古文単語「たばさむ/手挟む」の意味・解説【マ行四段活用】	>
be動詞（現在形）の使い方	>
古文単語「ほし/欲し」の意味・解説【形容詞シク活用】	>
古文単語「さいまくる」の意味・解説【ラ行四段活用】	>
to do と that の使い分け①	>
定積分の計算法則	>
古文単語「てうど/ちょうど/調度」の意味・解説【名詞】	>
文字を含む４次方程式の実数解の個数の求め方	>