無限級数の収束と発散を調べる問題 / 数学III by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2014-04-10
	無限級数の収束と発散を調べる問題
著作名： OKボーイ 95,379 views

無限級数の収束と発散

無限級数　 $\displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty } a _{n}$ 　において

無限級数が収束するということは、 $\lim_{n \rightarrow 0} a _{n} =0$

数列 $a_{n}$ 　が０に収束しなければ、無限級数は発散する

この２つが、無限級数が収束するかそれとも発散するかを調べる方法でした。
これらを駆使して、次の無限級数の収束と発散について調べてみましょう。

問題１

$\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{ \left(4n-2\right) \left(4n+2\right) }$

まず $\frac{1}{ \left(4n-2\right) \left(4n+2\right) }$ 　を変形していきましょう。

$\frac{1}{ \left(4n-2\right) \left(4n+2\right) }$
$= \frac{1}{4} \cdot \frac{ \left(4n+2\right) - \left(4n-2\right) }{ \left(4n-2\right) \left(4n+2\right) }$
$= \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{4n+2}{ \left(4n-2\right) \left(4n+2\right) } - \frac{4n-2}{ \left(4n-2\right) \left(4n+2\right) } \right)$
$= \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{1}{4n-2} - \frac{1}{4n+2} \right)$

初項から第ｎ項までの部分和をSnとすると
$S _{1} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right)$
$S _{2} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{10} \right)$
$S _{3} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{14} \right)$

$S_{n}=\frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right) +\frac{1}{4} \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{10} \right) +\frac{1}{4} \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{14} \right) \cdots$ $+ \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4n-2} - \frac{1}{4n+2} \right)$

なのでこれをまとめると
$S _{n} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4n+2} \right) \rightarrow \frac{1}{4}$

以上のことから、この無限級数は「収束」して、和は「１/４」となります。

第２問

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \frac{4}{5} + \cdots$

$\frac{1}{2} , \frac{2}{3} , \frac{3}{4} , \frac{4}{5}$ $\cdots$
の無限数列と考えると、この無限数列の第ｎ項 $a_{n}$ は
$a _{n} = \frac{n}{n+1}$ 　

つまり $a _{n}$ 　は０に向かって収束しませんね。
ですのでこの無限級数は「発散」します。

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