無限級数が収束する条件とその証明 / 数学III by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2014-04-10
	無限級数が収束する条件とその証明
著作名： OKボーイ 38,055 views

無限級数が収束する条件

以下のような無限数列があるとします。
$a _{1} ,a _{2} ,a _{3} ,a _{4} \cdots a _{n} \cdots$

この無限数列の和である無限級数
$\displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty } a _{n} = a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} \cdots +a _{n} + \cdots$
がとある値にむかって収束するとき

$\lim_{n \rightarrow \infty } a _{n} =0$

　
が成り立ちます。

証明

これを証明してみましょう。
$S_{n}=a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} \cdots +a _{n} + \cdots$ 　…①
$S_{n-1}=a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} \cdots +a _{n-1} + \cdots$ 　…②

①－②より
$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$

このことから
$\lim_{n \rightarrow \infty } a _{n}=\lim_{n \rightarrow \infty }\left(S_{n}-S_{n-1} \right)$
$=\lim_{n \rightarrow \infty }S_{n}-\lim_{n \rightarrow \infty }S_{n-1}$ 　…③

この無限級数が「Ｓ」に向かって収束するとしましょう。このとき③は
$\lim_{n \rightarrow \infty }S_{n}-\lim_{n \rightarrow \infty }S_{n-1}=S-S=0$
となります。

①が収束するのも②が収束するのも、ともに同じＳですからね。

以上のことから
$\lim_{n \rightarrow \infty } a _{n} =0$ 　
が成り立つことがわかります。

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