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14_80 点と直線 / 座標上の多角形

三角形の重心の座標の求め方とその証明

著者名: ふぇるまー
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三角形の重心

まず三角形の重心の性質を復習しておきましょう。

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・AGを延長してBCと交わる点M₁は、BCの中点にあたる。
 そしてAG:GM₁=2:1

・BGを延長してACと交わる点M₂は、ACの中点にあたる。
 そしてBG:GM₂=2:1

・CGを延長してABと交わる点Mは、ABの中点にあたる。
 そしてCG:GM₃=2:1

これが三角形の重心の性質でした。
これを座標上で考えると、次のようになります。

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座標上の点A(x₁、y₁)、B(x₂、y₂)、C(x₃、y₃)を頂点とする三角形ABCの重心をG(x、y)として図を描いています。


このとき、G(x、y)を求める公式があります。





公式の証明

では、この公式を導いてみましょう。

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BCの中点をM(a、b)とします。MはBCを1:1に内分する点なので、内分点の座標を求める公式により





次にAMを直線で結びます。

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点Gは△ABCの重心なので、もちろんAM上にあります。そして重心の性質より、"AG:GM=2:1"に内分する点であることがわかります。こちらも内分点の座標を求める公式により






練習問題

3つの点、A(−3,−2)、B(4,0)、C(5,5)を頂点とする△ABCの重心G(x,y)の座標を求めなさい


先ほどの公式に与えられた値を代入するだけですね。





以上から、G(2,1)が答えです。

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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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