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14_80 点と直線 / 座標上の多角形

正三角形の頂点の決定

著者名: OKボーイ
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3点、A(1,0)、B(0,3)、C(a,b)を頂点とする△ABCが正三角形であるとき、aとbの値を求めてみましょう


このように、座標と図形とがセットになった問題には解き方のコツがあります。
図を描いてみる

どの問題もそうですが、まずは図示してみて頭の中だけではなく目でみて考えてみる。図形、座標の問題では 図示をすること、これが第一です。
図形の性質を考える

図形がでてきた場合、 その性質が何であったかを考えます。
直角三角形であればピタゴラスの定理が使える、ひし形であれば対角線が直角に交わるなどです。
今回扱う図形は正三角形です。さて、どんな特徴があったでしょうか。
図を描く

さて、設問から考えられる△ABCは次の図のように2通りです。
便宜的にC、C’としましょう。
ALT


図形の性質を考える

さて、正三角形の特徴はどのようなものがあったでしょうか。
AB=BC=CA
今回はこの性質を利用します。

Cの座標を(a、b)としたとき
 
 …①
 …②

AB>0、BC>0、CA>0ですので
となります。

①と②から、
これを解くと  …③ となります。
③を①に代入して

これをとくと

これを③に代入して


よってCの座標は
 となります。


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『チャート式 数学ⅡB』 数研出版

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