同じ平面上にある点について考えてみましょう / 数学B by OKボーイ |マナペディア|

	同じ平面上にある点について考えてみましょう
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３点Ａ、Ｂ、Ｃと点Ｐが同じ平面上にある

３点、Ａ（３，３，０）、Ｂ（２，４，１）、Ｃ（１，２，３）の定める平面上に、点Ｐ（ｘ，２，４）があるとします。このとき、ｘの値を求めてみましょう。

＜考え方＞
点Ｐが平面ＡＢＣ上にあるためには、
$\vec{AP} =k \vec{AB} +l \vec{AC}$ 　となる実数ｋとｌが存在する。

＜解答＞
まず、 $\vec{AP} ,\vec{AB} ,\vec{AC}$ 　をそれぞれ求めてみます。

$\vec{AP} = \left(3-x, 3-2, 0-4\right) = \left(3-x, 1, -4\right)$
$\vec{AB} = \left(3-2, 3-4, 0-1\right) = \left(1, -1, -1\right)$
$\vec{AC} = \left(3-1, 3-2, 0-3\right) = \left(2, 1, -3\right)$

平面ＡＢＣ上に点Ｐが存在するということは、 $\vec{AP} =k \vec{AB} +l \vec{AC}$ 　となる実数ｋとｌが存在するということなので、次のこ式ができます。

$\left(3-x, 1, -4\right) =k\left(1, -1, -1\right)+l\left(2, 1, -3\right)$
$\left(3-x, 1, -4\right) =\left(k+2l, -k-l, -k-3l \right)$

$k+2l=3-x$ 　…①
$-k-l=1$ 　…②
$-k-3l=-4$ 　…③
②と③より
$k= \frac{5}{2}$ 　 $l=- \frac{7}{2}$

これを①に代入して
$x= \frac{3}{2}$ 　が答えとなります。

平面ＡＢＣ上に点Ｐが存在するということは、 $\vec{AP} =k \vec{AB} +l \vec{AC}$ 　となる実数ｋとｌが存在する

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