等比数列を使って、貯金の積立を考える / 数学B by OKボーイ |マナペディア|

	等比数列を使って、貯金の積立を考える
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等比数列を使った問題の中で、貯金のように貯まっていくお金を計算する問題がよく出題されます。例えば次のような問題です

毎年ａ円ずつ積み立てています。１年預けるとｒの利息がつきます。このとき、ｎ年後にはいくらお金がたまっているかを考えてみましょう。

問題へのアプローチ方法

１年目、２年目、３年目・・・ｎ年目には毎年いくらお金が預けるのか、預けたお金はいくらになっているのかを考えてみましょう。

解法

まず、１年目に預けたお金が２年目にはいくらになるのか、２年目に預けたお金が３年目にはいくらになるのか、３年目に預けたお金は４年目にはいくらになるのかを考えます。

○１年目
$a \left(1+r\right)$ 　円
ａ円預けて１年間でｒの利息がつくので、１年目のお金は２年目が始まる頃にはａ（１＋ｒ）円になります。

○２年目
まず、毎年ａ円は必ず預けるので、２年目にもａ円を預けます。この預けたａ円は、２年目が終わる頃にはａ（１＋ｒ）円となっています。
そしてこれとは別に、１年目に預けたお金にも利息がついてきます。
１年目に預けたお金は２年目が始まる頃にａ（１＋ｒ）円となっていましたが、このお金は３年目が始まる頃にはさらにｒの利息がついて
$a \left(1+r\right) \left(1+r\right) =a \left(1+r\right) ^{2}$ 　円となっていますね。

２年目までに預けたお金の総額は
$a \left(1+r\right)^{2} + a \left(1+r\right)$ 　円になります。

○３年目
３年目も同様にして、預けたお金の総額は
$a \left(1+r\right) ^{3} +a \left(1+r\right) ^{2} +a \left(1+r\right)$ 　円になります。

つまり、このことからｎ年目までに預けたお金の総額は
$a \left(1+r\right) ^{n} +a \left(1+r\right) ^{n-1} + \cdots +a \left(1+r\right)$
の合計です。この等比数列の和を考えれば、ｎ年目までに預けたお金の合計金額がわかりますね。
$a \left(1+r\right)$ 　を最初の項目、　 $a \left(1+r\right) ^{n}$ 　を最後の項目、１＋ｒを公比とすると

$S _{n} = \frac{a \left(1+r\right) \left( \left(1+r\right) ^{n} -1\right) }{1+r-1} = \frac{a \left(1+r\right) \left( \left(1+r\right) ^{n} -1\right) }{r}$
が求める金額の合計となります。

このように利息の計算をするのも等差数列の特徴です。

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