等比数列を使った問題の中で、つみたてNISAや貯金のように、貯まっていくお金を計算する問題がよく出題されます。例えば次のような問題です




１年目、２年目、３年目・・・ｎ年目には毎年いくらお金が預けるのか、預けたお金はいくらになっているのかを考えてみましょう。


まず、１年目に預けたお金が２年目にはいくらになるのか、２年目に預けたお金が３年目にはいくらになるのか、３年目に預けたお金は４年目にはいくらになるのかを考えます。


ａ円預けて１年間でｒの利息がつくので、１年目のお金は２年目が始まる頃には

ａ（１＋ｒ）円になります。


まず、毎年ａ円は必ず預けるので、２年目にもａ円を預けます。この預けたａ円は、２年目が終わる頃にはａ（１＋ｒ）円となっています。

そしてこれとは別に、１年目に預けたお金にも利息がついてきます。
１年目に預けたお金は２年目が始まる頃にａ（１＋ｒ）円となっていましたが、このお金は３年目が始まる頃にはさらにｒの利息がついて

ａ（１＋ｒ）（１＋ｒ）＝ａ（１＋ｒ）²円

となります。合計すると２年目までに預けたお金の総額は

ａ（１＋ｒ）²＋ａ（１＋ｒ）円

であることがわかりました。


３年目も同様にして、預けたお金の総額は

ａ（１＋ｒ）³＋ａ（１＋ｒ）²＋ａ（１＋ｒ）円

となります。


つまり、このことからｎ年目までに預けたお金の総額は、

ａ（１＋ｒ）ⁿ＋ａ（１＋ｒ）ⁿ⁻¹＋ａ（１＋ｒ）ⁿ⁻²・・・ａ（１＋ｒ）

で求めることができます。この等比数列の和を考えれば、ｎ年目までに預けたお金の合計金額がわかりますね。

ａ（１＋ｒ）を初項、　ａ（１＋ｒ）ⁿを末項、１＋ｒを公比とすると、等比数列の和の公式より




が求める金額の合計となります。
このように利息の計算をするのにも用いることができるのが、等差数列の特徴です。