等比数列の和を求める公式の証明 / 数学B by となりがトトロ |マナペディア|

更新日時：2020-08-04
	等比数列の和を求める公式の証明
著作名：となりがトトロ 95,309 views

等比数列の和を求める公式の証明

初項がa、公比がrの等比数列において、初項から第ｎ項 $a _{n}$ までの和 $S _{n}$ は、

・ｒ≠１のとき
$\cdot S _{n} = \frac{a \left(1-r ^{n} \right) }{1-r} = \frac{a \left(r ^{n} -1\right) }{r-1}$

・ｒ=１のとき
$\cdot S _{n} =na$
で求めることができます。今回はこの公式を証明します。

証明

■・ｒ≠１のとき

初項がa、公比がｒの等比数列を書きだしてみると

$a \cdot ar \cdot ar ^{2} \cdot ar ^{3} \cdot ar ^{4} \cdots ar ^{n-1}$

となる。第ｎ項までの和Ｓｎを求めるためには

$S _{n} =a+ar+ar ^{2} +ar ^{3} +ar ^{4} + \cdots +ar ^{n-1}$ 　　－①

をすればよいのだが、これではいくら時間があっても足りない。
そこで、次の２つのステップをふむだけで簡単に公式を求められる方法を紹介したい。

ステップ１：Ｓｎに公比"ｒ"をかける

ステップ２：公比ｒをかけできたｒＳｎから、Ｓｎをひいてみる

■ステップ１：Ｓｎに公比"ｒ"をかける

Snに公比ｒをかけると

$rS _{n} =ar+ar ^{2} +ar ^{3} +ar ^{4} + \cdots +ar ^{n}$ 　　－②

■ステップ２：公比ｒをかけできたｒＳｎから、Ｓｎをひいてみる

次に②－①をする。

引いてできた式を整理すると
$rS _{n} -S_{n}=ar ^{n} -a$
$\left(r-1\right) S _{n} =a \left(r ^{n} -1\right)$
$S _{n} = \frac{a \left(r ^{n} -1\right) }{r-1}$

ちなみにここでは②－①をしたが、①－②をした場合に
$\cdot S _{n} = \frac{a \left(1-r ^{n} \right) }{1-r}$
が求まる。

■・ｒ=１のとき

続いてｒ=１の場合を考える。ｒが１ということは、初項がa、公比が１の等比数列ということなので、考える数列は

$a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdots$

つまりすべての項がaということになる。この場合、第ｎ項までの和Snは、 $S _{n} =na$ で求まる。

以上のことから、等比数列の和の公式は
・ｒ≠１のとき
$\cdot S _{n} = \frac{a \left(1-r ^{n} \right) }{1-r} = \frac{a \left(r ^{n} -1\right) }{r-1}$

・ｒ=１のとき
$\cdot S _{n} =na$

であることがわかった。

証明おわり。

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