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等比数列の和を求める公式の証明 |
著作名:
となりがトトロ
115,172 views |
等比数列の和を求める公式の証明
初項がa、公比がrの等比数列において、初項から第n項
・r≠1のとき
・r=1のとき
で求めることができます。今回はこの公式を証明します。
証明
■・r≠1のとき
初項がa、公比がrの等比数列を書きだしてみると
となる。第n項までの和Snを求めるためには
をすればよいのだが、これではいくら時間があっても足りない。
そこで、次の2つのステップをふむだけで簡単に公式を求められる方法を紹介したい。
ステップ1:Snに公比"r"をかける
ステップ2:公比rをかけできたrSnから、Snをひいてみる
■ステップ1:Snに公比"r"をかける
Snに公比rをかけると
■ステップ2:公比rをかけできたrSnから、Snをひいてみる
次に②-①をする。
引いてできた式を整理すると
ちなみにここでは②-①をしたが、①-②をした場合に
が求まる。
■・r=1のとき
続いてr=1の場合を考える。rが1ということは、初項がa、公比が1の等比数列ということなので、考える数列は
つまりすべての項がaということになる。この場合、第n項までの和Snは、
以上のことから、等比数列の和の公式は
・r≠1のとき
・r=1のとき
であることがわかった。
証明おわり。
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