初項がa、公比がrの等比数列において、初項から第ｎ項までの和は、

・ｒ≠１のとき


・ｒ=１のとき

で求めることができます。今回はこの公式を証明します。






初項がa、公比がｒの等比数列を書きだしてみると



となる。第ｎ項までの和Ｓｎを求めるためには

　　－①

をすればよいのだが、これではいくら時間があっても足りない。
そこで、次の２つのステップをふむだけで簡単に公式を求められる方法を紹介したい。







Snに公比ｒをかけると

　　－②


次に②－①をする。



引いてできた式を整理すると




ちなみにここでは②－①をしたが、①－②をした場合に

が求まる。




続いてｒ=１の場合を考える。ｒが１ということは、初項がa、公比が１の等比数列ということなので、考える数列は



つまりすべての項がaということになる。この場合、第ｎ項までの和Snは、で求まる。

以上のことから、等比数列の和の公式は
・ｒ≠１のとき


・ｒ=１のとき


であることがわかった。

証明おわり。