弧度を利用した扇の弧の長さと面積の求め方 / 数学II by OKボーイ |マナペディア|

弧度を使って弧の長さと面積を求める

このテキストでは、弧度を使って弧の長さと面積を求める方法を解説しています。

半径がｒで中心角がθの扇の弧の長さをｌ、面積をＳとしましょう。

扇の弧の長さ

ここで思い出してください。円の弧の長さは、

２ × π ×ｒ

で求めることができました。そして弧度法の場合、円１周の角度は２πで表すことができます。

中心角が２πのとき、その弧の長さ（すなわち円周は）２πｒですが、中心角がθのときはどう表せるのか、というように考えます。

２π：２πｒ＝θ：ｌ

これを整理して

※ただしθは弧度法で表したものに限る

扇の面積

続いて扇の面積について考えてみましょう。
円の面積Sは

S＝ｒ × ｒ × π＝ｒ² π

で求めることができました。先ほどと同じように考えます。

中心角が２πのとき、その面積はｒ² πです。では中心角がθのとき、その面積Sはどうなるでしょうか。

２π：ｒ² π ＝ θ：Ｓ

これを整理すると

※ただしθは弧度法で表したものに限る

また、①と②から

を導くことができます。

これらの計算式は弧度法のときのみですので気をつけてくださいね。

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