三角関数の相互関係による式の値を求める問題 / 数学II by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2014-06-11
	三角関数の相互関係による式の値を求める問題
著作名：ふぇるまー 20,482 views

練習問題１

"sinΘ＋cosΘ＝k"のとき、次の式の値をkを用いて表しなさい。
(１) sinΘcosΘ
(２) sin³Θ＋cos³Θ

(１) sinΘcosΘ

"sinΘ＋cosΘ＝k"の両辺を２乗します。

(sinΘ＋cosΘ)²＝k²

sin²Θ＋２sinΘcosΘ＋cos²Θ＝k²　ー①

"sin²Θ＋cos²Θ＝１"より①式は、

１＋２sinΘcosΘ＝k²

２sinΘcosΘ＝k²−１

$\sin \theta \cos \theta = \frac{k ^{2} -1}{2}$

(２) sin³Θ＋cos³Θ

３次の式を因数分解する公式より、

sin³Θ＋cos³Θ
＝(sinΘ＋cosΘ)(sin²Θ−sinΘcosΘ＋cos²Θ)　ー②

"sin²Θ＋cos²Θ＝１"
"sinΘ＋cosΘ＝k"
"sinΘcosΘ＝(k²−１)/２"より②式は

$k \times \left(1- \frac{k ^{2} -1}{2} \right)$

$=k- \frac{k ^{3} -k}{2}$

$=\frac{-k ^{3} +3k}{2}$

練習問題２

"sinΘ−cosΘ＝k"のとき、次の式の値をkを用いて表しなさい。
(１) sinΘcosΘ
(２) sin³Θ＋cos³Θ

(１) sinΘcosΘ

"sinΘ−cosΘ＝k"の両辺を２乗します。

(sinΘ−cosΘ)²＝k²

sin²Θ−２sinΘcosΘ＋cos²Θ＝k²　ー③

"sin²Θ＋cos²Θ＝１"より③式は、

１−２sinΘcosΘ＝k²

２sinΘcosΘ＝１−k²

$\sin \theta \cos \theta = \frac{1 - k ^{2} }{2}$

(２) sin³Θ−cos³Θ

３次の式を因数分解する公式より、

sin³Θ−cos³Θ
＝(sinΘ−cosΘ)(sin²Θ＋sinΘcosΘ＋cos²Θ)　ー④

"sin²Θ＋cos²Θ＝１"
"sinΘ−cosΘ＝k"
"sinΘcosΘ＝(１−k²)/２"より④式は

$k \times \left(1+ \frac{1- k ^{2} }{2} \right)$

$=k+ \frac{k - k ^{3} }{2}$

$=\frac{3k-k ^{3} }{2}$

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