放物線にみる軌跡 / 数学II by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2012-12-20
	放物線にみる軌跡
著作名： OKボーイ 27,385 views

２次関数の放物線を使った軌跡の問題

$y=x^{2}-2x+3$ 　上に点Ｑをとります。これとは別に点Ａ（２，２）を設け、線分ＡＱを２：１に外分する点Ｐの軌跡を求めてみましょう。

まず、点ＰとＱの座標をＰ（ｘ，ｙ）、Ｑ（ｓ，ｔ）とします。
このときＱは $y=x^{2}-2x+3$ 　上の点ですので
$t=s^{2}-2x+3$ 　…①　となります。

また点Ｐは、線分ＡＱを２：１に外分する点ですから
$x= \frac{-1 \cdot 2 +2 \cdot s}{2-1} =-2+2s$
整理して　 $s= \frac{x+2}{2}$

$y= \frac{-1 \cdot 2+2 \cdot t}{2-1} =-2+2t$
整理して　 $t= \frac{y+2}{2}$

これらを①に代入すると
$\frac{y+2}{2} =\left( \frac{x+2}{2} \right)^{2}-2 \cdot \frac{x+2}{2} +3$

展開すると
$y= \frac{1}{2} x^{2}-x+2$ 　…②　となります。

以上のことから、点Ｐは放物線②上にあることがわかります。
そして放物線②上にある任意の点は、この計算を遡ると点Ｐの条件を満たすことがわかります。

よって求める点の軌跡は、　
放物線　 $y= \frac{1}{2} x^{2}-x+2$ 　となります。

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