アポロニウスの円 / 数学II by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2012-06-02
	アポロニウスの円
著作名： OKボーイ 22,776 views

アポロニウスの円とは

ｍとｎが異なる正の数のとき、２つの点ＡとＢからの距離がｍ：ｎである点Ｐの軌跡は、線分ＡＢをｍ：ｎに内分する点と、線分ＡＢをｍ：ｎに外分する点を直径の両端とする円になります。この円のことをアポロニウスの円と言います。

２つの点Ａ（１，０）とＢ（４，０）からの距離の比が２：１である点Ｐの軌跡を求めてみましょう。

点ＰをＰ（ａ、ｂ）とおいたとき、ＡＰ：ＰＢ＝２：１であればよいということですね。

ＡＰ：ＰＢ＝２：１より、ＡＰ＝２ＰＢ　よって
$AP^{2}=4PB^{2}$ 　…①
あとはＡＰとＰＢを求めて①に代入しましょう。

$AP^{2}=\left(a-1\right)^{2}+\left(b-0\right)^{2}=\left(a-1\right)^{2}+b^{2}$
$PB^{2}=\left(a-4\right)^{2}+b^{2}$

これらを①に代入して
$\left(a-1\right)^{2}+b^{2}=4\left(a-4\right)^{2}+4b^{2}$

展開すると
$a^{2}-10a+b^{2}+21=0$
$\left(a^{2}-10a+25\right)-25+b^{2}+21=0$
$\left(a-5\right)^{2}+b^{2}=2^{2}$ 　…②

ゆえに、条件を満たす点は②上にあるます。逆に②上の任意の点Ｐは、計算を遡ると問題の条件を満たすことがわかります。
よって、求める点Ｐの軌跡は（５，０）を中心とする半径２の円となります。

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