底の変換公式のコツ[底の決め方] / 数学II by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2014-07-28
	底の変換公式のコツ[底の決め方]
著作名：ふぇるまー 103,103 views

底の変換公式

問題１

次の式を計算しなさい。
$\log _{2} 12- \log _{4} 36$

この式は、２つの項の底の値が異なるので、底の値をそろえて計算しなければなりません。そこで使うのが底の変換公式でした。

a、b、cが正の数でa≠1、b≠1、c≠1のとき
$\log _{a} b= \frac{ \log _{c} b}{ \log _{c} a}$

底を変換したあとの"c"の値を、どうやって決めれば良いのかに頭を悩ませている人も多いでしょう。

$\log _{2} 12- \log _{4} 36$

のように、項が２つ以上ある場合、一番小さい底にあわせれば、だいたいうまくいきます。今回の問題だと、底で一番小さいのは"２"ですね。

というわけで、底が４の項の底を、２に変換してみましょう。

$\log _{4} 36= \frac{ \log _{2} 36}{ \log _{2} 4} = \frac{ \log _{2} 6 ^{2} }{ \log _{2} 2 ^{2} } = \frac{2 \log _{2} 6}{2 \log _{2} 2}$

$\log _{a} a=1$

より

$\log _{2} 2=1$

なので、分母を変形します。

$\frac{2 \log _{2} 6}{2 \log _{2} 2} = \frac{2 \log _{2} 6}{2} = \log _{2} 6$

以上から与えられた式は、

$\log _{2} 12- \log _{2} 6$

対数の性質

$\log _{a} \frac{M}{N} = \log _{a} M- \log _{a} N$

を用いて、

$\log _{2} 12- \log _{2} 6= \log _{2} \frac{12}{6} = \log _{2} 2=1$

おさらいしておきましょう。

項が２つ以上ある式の底は、一番小さい底にあわせれば、だいたいうまくいく

問題２

次の式を計算しなさい。
$\log _{9} 27$

ではこの問題のように、項が１つしかない場合はどうでしょう。「計算しなさい」と出題されているわけですから、これ以上簡単にはできない、ということはありません。

注目すべきは、"９"と"２７"です。

９＝３²
２７＝３³

なので、「ひょっとしたら３に底をそろえたらいいんじゃないかな」と感じとりましょう。対数の計算が解ける人は、「なんとなくそう思う」と答えるかもしれませんが、これは何回も何回も練習問題を解いていけば身に付く感覚です。

$\log _{9} 27= \frac{ \log _{3} 27}{ \log _{3} 9} = \frac{ \log _{3} 3 ^{3} }{ \log _{3} 3 ^{2} } = \frac{3 \log _{3} 3}{2 \log _{3} 3} = \frac{3}{2}$

$\log _{a} M$
の底を変換するときは、"a"と"M"に共通する数字がないかを確認してみる

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