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更新日時：
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累乗根の公式の証明"ⁿᴾ√aᵐᴾ＝ⁿ√aᵐ" |
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著作名：
ふぇるまー
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累乗根の公式の証明
ここでは、累乗根の公式の中から、次の公式を証明します。
問題
a＞０、b＞０で、m、n、pが正の数のとき、以下の式を証明せよ。
証明
まず、
とおきます。このときa＞０であることから、ｘ＞０となります。
■両辺をｎ乗
①の両辺をｎ乗します。
ａᵐ＝ｘⁿ －②
■両辺をｐ乗
次に、②式の両辺をｐ乗します。
（ａᵐ）ᵖ＝（ｘⁿ）ᵖ
ここで両辺に、指数法則の
（ａᵐ）ⁿ＝ａᵐⁿ
を用います。すると
ａᵐᵖ＝ｘⁿᵖ －③
条件より、ａᵐᵖ＞０、ｘ＞０なので
■まとめ
①、④より
が成り立つことがわかります。
証明おわり。
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