導関数の計算法則 / 数学II by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2012-06-02
	導関数の計算法則
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導関数の計算法則

関数ｆ（ｘ）とｇ（ｘ）の導関数、ｆ'（ｘ）とｇ'（ｘ）が存在する時、次の計算法則が成り立ちます。

｛ｆ（ｘ）+ｇ（ｘ）｝'=ｆ'（ｘ）+ｇ'（ｘ）　…①

｛ｋｆ（ｘ）｝'ｋ＝ｆ'（ｘ）　…②

{ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）｝'=ｆ'（ｘ）ｇ（ｘ）ｆ（ｘ）ｇ'（ｘ）　…③

これを関数の積の微分法と言います。

｛ｆ（ａｘ＋ｂ）｝'=ａｆ'（ａｘ＋ｂ）　…④

■これらを念頭に次の問題をｘについて微分してみましょう。

$1: y=x^{2}-5x+3$

微分すると　 $\acute{y}=2x-5$ 　になります。
＋３のようにｘとは関係ないものは０になります。

$2: y=\frac{3}{4}x^{4}+\frac{2}{3}x^{3}+2x+1$

微分すると　
$\acute{y}=4 \times \frac{3}{4}x^{3}+3 \times \frac{2}{3}x^{2} +2 =3x^{3}+2x^{2}+2$

$3: y=(x^{2}+2)(x-3)$

分解してから微分してもよいのですが、③の計算法則を使うともっと速く解くことができます。

$\acute{y}=\acute{(x^{2}+2)}(x-3)+(x^{2}+2)\acute{(x-3)}$
$=2x(x-3)+x^{2}+2$
$=3x^{2}-6x+2$

あっているかどうか確認してみましょう。
問題の右辺を展開すると、
$y=x^{3}-3x^{2}+2x-6$
$\acute{y}=3x^{2}-6x+2$ 　となり先ほどと同じ答えになりましたね。

$4: y=(4x+3)^{4}$

この式はいちいち分解する必要がありません。４ｘ＋３＝Ａとし、１つのくくりで考えると
$\acute{y}=4A^{3}$ 　となりますね。
計算はこの段階でとめてしまってかまいません。

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