数直線上の２点間の距離が理解できたら、次は、座標上の２点間の距離を求める方法をみていきます。


座標上の２点間の距離とは、上図のようなA(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)の距離"AB"のことを指します。この長さを求める公式があるので、これも覚えてしまいましょう。




この公式は、三平方の定理を用いることで証明できます。

ABが、x軸とy軸、どちらとも並行ではないとします。
このとき、図のような△ABCを作ります。(ABは、△ABCの斜辺にあたります)



△ABCにおいてACとBCの長さはそれぞれ、

AB＝|x₂−x₁|
BC＝|y₂−y₁|

とできるので、△ABCに三平方の定理を用いると、

AB²＝AC²＋BC²＝|x₂−x₁|²＋|y₂−y₁|²

ここで絶対値の性質より"|a|²＝(a)²"なので、

|x₂−x₁|²＋|y₂−y₁|²＝(x₂−x₁)²＋(y₂−y₁)²

と式を変形できます。
AB＞０より



となり、公式を求めることができました。






より






より






より