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複２次式の因数分解 |
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著作名：
ふぇるまー
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複２次式の因数分解
"ax⁴＋bx²＋c"のような形をした整式を複２次式と言います。
（ただしa≠0）
複２次式の因数分解の解き方は決まっていて、計算がしやすくなるように"x²＝X"とひとくくりにして考えていきます。
ax⁴＋bx²＋c＝aＸ²＋bＸ＋c
"aＸ²＋bＸ＋c"の因数分解が簡単にできる場合と、因数分解をするために工夫が必要な場合とがあるので、それぞれの方法を、練習問題を解きながら解説していきましょう。
練習問題
問題 次の式を因数分解せよ
（１） ｘ⁴＋３ｘ²＋２
（２） ｘ⁴＋５ｘ²＋９
（１） ｘ⁴＋３ｘ²＋２
（２） ｘ⁴＋５ｘ²＋９
■（１） ｘ⁴＋３ｘ²＋２
"x²＝X"としたとき、もとの式は
ｘ⁴＋３ｘ²＋２＝X²＋３Ｘ²＋２
"x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)"の考え方を用いて
X²＋３Ｘ²＋２＝(Ｘ＋２)(Ｘ＋１)
あとは"Ｘ"を"ｘ²"に置き換えて
(Ｘ＋２)(Ｘ＋１)＝(ｘ²＋２)(ｘ²＋１)
■（２） ｘ⁴＋５ｘ²＋９
（１）と同じように、"x²＝X"としたとき、与えられた式は
ｘ⁴＋５ｘ²＋９＝Ｘ²＋５Ｘ＋９
となります。この式を（１）のように簡単に因数分解することは難しそうです。このような場合、式のつじつまが合うように、式に、勝手に数字を足したり引いたりしてみます。
"Ｘ²＋５Ｘ＋９"が仮に、"Ｘ²＋６Ｘ＋９"だったらどうでしょう。
"Ｘ²＋６Ｘ＋９＝(Ｘ＋３)²"ときれいに因数分解できますよね。そこで次のようにします。
Ｘ²＋５Ｘ＋９
＝Ｘ²＋５Ｘ＋９＋Ｘ－Ｘ
＝Ｘ²＋６Ｘ＋９－Ｘ
＝(Ｘ＋３)²－Ｘ
"Ｘ"を"ｘ²"に置き換えて
(Ｘ＋３)²－Ｘ＝(ｘ²＋３)²－ｘ²
"a²－b²=(a＋b)(a－b)"の公式を用いて
(ｘ²＋３)²－ｘ²
＝(ｘ²＋３＋ｘ)(ｘ²＋３－ｘ)
＝(ｘ²＋ｘ＋３)(ｘ²－ｘ＋３)
ポイントは、”(ｘ²＋３)²－ｘ²”のように必ず"○²－△²"の形になるように式をうまく変形させることです。
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