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因数分解[３次の式を因数分解する公式] |
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著作名：
ふぇるまー
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３次の式を因数分解する公式
２次の式の因数分解についてはすでに学習済みだと思いますが、ここでは３次の式の因数分解について解説していきます。３次の式とは、"ｘ³－ｙ³"のような式ですね。
３次の式を因数分解するためには、次の２つの公式を覚えましょう。
・a³＋b³＝(a＋b)(a²－ab＋b²)
・a³－b³＝(a－b)(a²＋ab＋b²)
・a³－b³＝(a－b)(a²＋ab＋b²)
まず、本当に公式が成り立つか、右辺を展開して確かめてみましょう。
■a³＋b³＝(a＋b)(a²－ab＋b²)
(a＋b)(a²－ab＋b²)
＝a(a²－ab＋b²)＋b(a²－ab＋b²)
＝a³－a²b＋ab²＋a²b－ab²＋b³
＝a³＋b³
■a³－b³＝(a－b)(a²＋ab＋b²)
(a－b)(a²＋ab＋b²)
＝a(a²＋ab＋b²)－b(a²＋ab＋b²)
＝a³＋a²b＋ab²－a²b－ab²－b³
＝a³－b³
これらの因数分解の公式は、３次の式を展開する公式の逆になりますね。
それでは、練習問題を通して３次の式の因数分解になれていきましょう。
練習問題
問題 次の式を因数分解せよ
（１） ８ｘ³＋８ｙ³
（２） ｘ³－６４
（１） ８ｘ³＋８ｙ³
（２） ｘ³－６４
■（１） ８ｘ³＋８ｙ³
まず、先にくくり出せるものはくくり出しておきましょう。
８ｘ³＋８ｙ³＝８(ｘ³＋ｙ³)
a³＋b³＝(a＋b)(a²－ab＋b²)の公式より
８(ｘ³＋ｙ³)＝(ｘ＋ｙ)(ｘ²－ｘｙ＋ｙ²)
因数分解を始めるまえに、くくり出せるものは先にくくり出しておくと、計算が楽になることもある
■（２） ｘ³－６４
"６４"が"４³"なことに気づけると、一発で答えを求めることができます。
ｘ³－６４＝ｘ³－４³
a³－b³＝(a－b)(a²＋ab＋b²)の公式より、
ｘ³－４³
＝(ｘ－４)(ｘ²＋４ｘ＋４²)
＝(ｘ－４)(ｘ²＋４ｘ＋１６)
３乗の因数分解のときには、"○³＋△³"または"○³－△³"の形を作ることが重要
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