このテキストでは、これらの定理を証明します。




四角形ＡＢＣDが円Ｏに内接するとき、

∠ＢＡＤ＝α
∠ＢＣＤ＝β

とすると、円の中心角は円周角の２倍の大きさにあたるので

∠ＢＯＤ（赤）＝２α
∠ＢＯＤ（青）＝２β

となる。すなわち
２α＋２β＝３６０°

この式の両辺を２で割ると
α＋β＝１８０°　－①

以上のことから、「１：円に内接する四角形の対角の和は１８０°」が成り立つことが証明できた。






図をみると、∠ＢＣＤの外角の大きさは、

∠ＢＣＤの外角＝１８０°－β　－②

となる。①を変形すると

α＝１８０°ーβ　－③

②と③より、∠ＢＣＤの外角＝αとなることがわかる。
以上で、「２：四角形の内角（α）は、その対角(β）の外角に等しい」が成り立つことが証明できた。

証明おわり。