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14_80 式と証明 / 不等式の証明

相加平均と相乗平均の関係とその証明

著者名: ふぇるまー
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相加平均と相乗平均

2つの実数aとbがあるとき、この2つの数の平均を求めてみましょう。
平均といえば「足して2で割る」でしたね。



このことを数学Ⅱ以降では、相加平均(そうかへいきん)といいます。2つ()を足して()求める平均です。

実は平均の求め方にはもう1つあります。a>0,b>0のとき、「かけてその数にルートをつける」方法で求めます。



この方法で求めた平均のことを、相乗平均(そうじょうへいきん)といいます。2つ()をかけて()求める平均です。

相加平均と相乗平均の関係

a>0,b>0のとき、相加平均と相乗平均には、次のような関係があります。


※等号が成り立つのはa=bのとき


証明

ではこの関係を証明してみましょう。
左辺−右辺をします。







2乗は必ず0以上になるので、


となります。以上から、"左辺−右辺≧0"なので、与えられた不等式が成り立つことがわかりました。

また、この不等式において等号が成り立つのは、



の等号が成り立つときに等しいので、

"√a−√b=0"

つまり、"√a=√b"
すなわち"a=b"のときに等号が成り立ちます。

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・相加平均と相乗平均の関係とその証明

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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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