新規登録 ログイン

14_80 式と証明 / 不等式の証明

ルートが含まれた不等式の証明

著者名: ふぇるまー
Text_level_1
マイリストに追加
ルートが含まれた不等式の証明

ここでは、ルートが含まれた不等式の証明についてみていきます。

まず、2つの数aとbがそれぞれ"a>0、b>0"であるときの、a²とb²の大きさについて考えます。

a²ーb²=(a+b)(aーb)

これは、すでにご存知の因数分解の公式ですね。
"a>0、b>0"より"a+b>0"なので

a²ーb²=(a+b)(aーb)

赤文字部分の正負は一致することがわかります。
どういうことかというと

・"(aーb)"がプラスだと、"(a+b)×プラス"で、"a²ーb²"はプラスとなります。

・"(aーb)"がマイナスだと、"(a+b)×マイナス"で、"a²ーb²"はマイナスとなります。

・これの逆もしかり。


"a²ーb²"がプラスのとき、aーbもプラスとなる」これを式に表すと

a²ーb²>0 ⇄ aーb>0
a²>b²0 ⇄ a>b


"a²ーb²"がマイナスのとき、aーbもマイナスとなる」これを式に表すと

a²ーb²<0 ⇄ aーb<0
a²<b²0 ⇄ a<b

今求めたことをまとめると、

a²>b²0 ⇄ a>b
a²<b²0 ⇄ a<b


この性質を覚えておきましょう。
ではこの性質を知ったところで何ができるかというと、「ルートを含んだ不等式の証明」ができるようになります。

練習問題

"x>0、y>0"のとき、次の不等式が成り立つことを証明しなさい。


何これ?と思うかもしれませんが、ルートを含む不等式の証明方法はまず、"両辺を2乗して引き算する"ところから始めましょう。

左辺を2乗すると
(√x +√y )²=x+2√xy +y

右辺を2乗すると
(√x+y)²=x+y
(※わかりづらいですが、√の中にx+yが入っています。)

左辺−右辺=x+2√xy +y−(x+y)=2√xy

設問より"x>0、y>0"なので、"2√xy >0"となります。
以上から、(√x +√y )²>(√x+y)²であることがわかりました。


ここまでは、与えられた式の両辺を2乗した不等式を証明したにすぎないので、最後に2乗をはずした不等式が本当に成り立つかを確認しなければなりません。そこで必要になるのが、冒頭で学んだ性質です。

a²>b²0 ⇄ a>bという性質から、
(√x +√y )²>(√x+y)² ⇄ √x +√y>√x+y

が成り立つことがわかります。
これで証明が完了したことになります。


Tunagari_title
・ルートが含まれた不等式の証明

Related_title
もっと見る 


Keyword_title

Reference_title
2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

この科目でよく読まれている関連書籍

このテキストを評価してください。

※テキストの内容に関しては、ご自身の責任のもとご判断頂きますようお願い致します。

 

テキストの詳細
 閲覧数 15,237 pt 
 役に立った数 11 pt 
 う〜ん数 2 pt 
 マイリスト数 0 pt 

知りたいことを検索!

まとめ
このテキストのまとめは存在しません。