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14_80 式と証明 / 不等式の証明

相加平均と相乗平均の不等式

著者名: OKボーイ
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相加平均と相乗平均

2つの数aとbにおいて、 を 相加平均といいます。
いわゆる普通の平均値を求めるときの計算方法ですね。
一方でa>0、b>0のとき のことを 相乗平均といいます。
相加平均と相乗平均の不等式

この相加平均と相加平均の間には次のような定理があります。
(ただし等号が成り立つのはa=b)


これを証明してみましょう。
左辺-右辺が0よりも大きくなればこの不等式が成り立つことがわかりますので、左辺-右辺を計算してみましょう。

左辺-右辺




 は必ず正の数ですので
 …①

よって  は成り立ちます。
等号が成り立つのは①の式から  …②のときです。
a>0、b>0より②の両辺は2乗してもその大きさは変わりませんので
a=bのときに等号が成り立ちます。

以上のことから、相加平均と相乗平均の関係
 は証明されたことになります。
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『教科書 数学Ⅱ』 数研出版

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