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12_80 2次関数 / 2次関数とグラフ(定義域/値域)

与えられた3つの点の座標から2次関数の式を求める

著者名: はっちゃん
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練習問題を通して理解を深めよう

とある2次関数が3点(1,3)、(-1,7)、(3,7)を通るとき、この関数の式を求めよ


3点の座標を与えられた状態で2次関数の式を求める問題にチャレンジしてみよう。

2次関数の式の形を思い出す

まず2次関数の式がどのように表されたかを思い出そう。2次関数は

y=ax²+bx+c ・・・①
y=a(x-p)²+q ・・・②

この2つの式で表すことができた。①か②の式に与えられた条件(つまり座標の値)を代入していけばよいという話だ。

では、①と②とどちらを用いればよいかという話だが、①の場合、わからない数値がa、b、cと3つあるのに対し②もa、p、qの3つだ。ここで、わからない値が3つの場合は3つの点が与えられている必要があることを覚えておきたい。つまり今回は3点の座標が与えられているので、どちらを用いても答えを求めることができる。ここでは①を用いて問題を解いていくことにする。

もちろん②でも求めることができるが、今回は②に代入をし、a、pとqの値を求めるよりも①を用いたほうがはるかに早く計算ができる。

座標を式に代入

では早速①に与えられた座標を代入していこう。

(1,3)を通ることより
a+b+c=3 ・・・③

(-1,7)を通ることより
a-b+c=7 ・・・④

(3,7)を通ることより
9a+3b+c=7 ・・・⑤

③、④、⑤の連立方程式をとくとa=1,b=-2,c=4が求まる。以上のことから、求める2次関数の式は

y=x²-2x+4
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『ニューアクションω 数学Ⅰ+A』東京書籍

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