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12_80 2次関数 / 2次関数とグラフ(定義域/値域)

2次関数"y=x²-2x-2m+1"が0≦x≦2の範囲でつねに負となるような定数mの範囲を求める問題

著者名: ふぇるまー
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問題
2次関数"y=x²−2x−2m+1"が0≦x≦2の範囲でつねにy<0となるような、定数mの範囲を求めてみましょう。


ポイント
条件を満たすのはどのようなグラフかを考える


解法

というわけで、条件を満たすのはどのようなグラフかを考えてみましょう。
まず"y=x²−2x−2m+1"を平方完成します。

y=x²−2x−2m+1
y=x²−2x+1−2m
y=(x−1)²−2m

つまりこの2次関数のグラフは、(1、−2m)を頂点とする下に凸な放物線を描くことがわかりました。このグラフが0≦x≦2の範囲でつねにy<0となるためには、どのような放物線であればよいでしょうか。答えが次のグラフです。

ALT


x=0のとき、そしてx=2のときのyの値がそれぞれ負であれば、設問の条件を満たすことになります。

x=0のとき

x=0のとき、yの値は

y=0²−2・0−2m+1
=−2m+1

これが負であればよいので

−2m+1<0
−2m<−1
m>1/2 

x=2のとき

x=2のとき、yの値は
y=(2−1)²−2m
=1−2m

これが負であればよいので
1−2m<0
−2m<−1
m>1/2

たまたま先ほどと同じ範囲になりましたね。

以上のことから"m>1/2"の範囲であれば、2次関数のグラフは条件を満たす放物線を描くことがわかります。

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2013 数学Ⅰ 東京書籍
2013 数学Ⅰ 数研出版

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