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14_80 微分 / 微分:最大値・最小値

最大最小値を使って円錐の体積を求める

著者名: OKボーイ
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円錐の体積を求める

いったい何の役に立つのかわからない微分の最大最小値ですが、次のような問題に応用ができます。
底面の半径と高さの和が30cmの円錐の体積が最大となるときの底面の半径と高さと体積を求めよ


図を描いてみる

円錐の体積を求める問題ですので、まずは円錐を描いてみましょう。
ALT


底辺の半径をxとすると、設問より高さは30-xとなります。そして体積をVとすると
 …①

xの範囲を考える

次にxの範囲について考えます。xはプラスですので当然x>0となります。
そして底辺と高さを足した長さが30cmですので、30cmよりも短くなります。
よってxの範囲は、0<x<30 となりますね。

微分を活用

①において、Vをxについて微分します。

となりますので、これをもとに増減表を描きます。

増減表をかく

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よってVは、x=20、つまり底辺の半径が20cm、高さが10cmのときに最大となります。その値は、


です。
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・最大最小値を使って円錐の体積を求める

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『チャート式 数学ⅡB』 数研出版
『教科書 数学Ⅱ』 数研出版

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