関数ｆ（ｘ）において、（ｘ＝ａでなないうえで）ｘの値がどんどんａに限りなく近づいていくとします。
これにあわせてｆ（ｘ）の値もとある一定の値、αに近づくことになります。このとき、ｆ（ｘ）が限りなく近づくαの値のことをｆ（ｘ）の極限値と言います。

この状態のことを数式で以下のように表します。
　
※または、ｘ→ａ　のとき、　ｆ（ｘ）→α　とも書きます。

ｘがａに近づくとき、ｆ（ｘ）はαに近づいていくということですね。
ａとαを混同させないように注意しましょう。

ｆ（ｘ）＝ｘ＋１のとき、
　…①　がどうなるのかをみてみましょう。

①の意味することは、ｘが限りなく１に近づくとき、ｆ（ｘ）はどの値に近づいていくでしょうかということです。

例えば、ｘを０．９からスタートして、０．９９、０．９９９と１に近づけていくとｆ（ｘ）の値はどうなるかを下にまとめてみました。

ｘ	０．９	０．９９	０．９９９	…
ｆ（ｘ）	１．９	１．９９	１．９９９	…

ｆ（ｘ）は２に近づいていることがわかります。

また逆に、ｘを１．１からスタートして、１．０９、１．０８、１．０７と近づけると次のようになります。

ｘ	１．０９	１．０８	１．０７	…
ｆ（ｘ）	２．０９	２．０８	２．０７	…

これも同じように２に近づいていますね。


以上のことから、　であることがわかります。

普段はこういう面倒くさいことをせずに、ｘ＝１をｆ（ｘ）に代入して、その値をｆ（ｘ）の極限値としてしまえばいいのですが、本来の考え方はこうなんだと覚えておいてください。