三角関数sin(θ＋π/2)=1/√2[角度の部分が複雑な方程式の計算問題] / 数学II by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2014-07-02
	三角関数sin(θ＋π/2)=1/√2[角度の部分が複雑な方程式の計算問題]
著作名：ふぇるまー 12,382 views

三角関数の方程式

ここでは、

$\sin \left( \theta + \frac{ \pi }{2} \right) = \frac{1}{ \sqrt{2} }$

のような、角度の部分が複雑な三角関数の方程式の解き方をみていきます。

問題

"０≦θ＜２π"の範囲において、次の方程式を満たすθの値を求めなさい。
$\sin \left( \theta + \frac{ \pi }{2} \right) = \frac{1}{ \sqrt{2} }$

解法へのポイント

（）の中が複雑な方程式が出題されたら、とにかく、（）の中の角度をAと置き換えることを意識しましょう。

$\sin \left( \theta + \frac{ \pi }{2} \right) = \frac{1}{ \sqrt{2} }$

（）の中の"θ＋π/２"を、"θ＋π/２＝A"と置き換えて考えてみます。すると

$\sin A= \frac{1}{ \sqrt{2} }$

とスッキリし、簡単そうに見えますよね。
なぜAと置き換えるかというと、計算を簡単にするためです。以前、因数分解の問題で、"ｘ⁴－１６"を因数分解するときに使った手法と同じです。

"ｘ⁴－１６"では計算が面倒くさそうなので、ｘ²をＡとして

ｘ⁴－１６
＝A²−１６
＝(Ａ＋４)(Ａ－４)
＝(ｘ²＋４)(ｘ²－４)
＝(ｘ²＋４)(ｘ＋２)(ｘ－２)

と解いたのを覚えていますか？
式を簡単に解くための工夫ですね。

解答

$\sin A= \frac{1}{ \sqrt{2} }$

"０≦θ＜２π"なのでAの範囲は
$\frac{ \pi }{2} \leq A< \frac{5}{2} \pi$
となります。この範囲で式を満たすAの値は、次の２つです。

$A= \frac{3}{4} \pi$
$A= \frac{9}{4} \pi$

Aの値が出たからといってここで安心してはいけません。
求めなければならないのはθの値です。

$A= \theta + \frac{ \pi }{2}$

なので、
$\theta + \frac{ \pi }{2} = \frac{3}{4} \pi$
$\theta + \frac{ \pi }{2} = \frac{9}{4} \pi$

この２つの式を解くと、

$\theta = \frac{ \pi }{4}$
$\theta = \frac{7}{4} \pi$

が求める答えとなります。

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