まずは与えられた不等式の領域を図示してみましょう。
連立不等式の表す領域より、



境界線を含みます

グレーのかかった部分が不等式の表す領域です。
点(x，y)はこの領域の中にあるわけですが、このタイプの問題は解き方が決まっているので、解法を覚えるようにしましょう。

まず、"x＋y＝k"とおきます。「kの最大値と最小値を求める」と考え方を改めましょう。

次に、"x＋y＝k"を変形して"y＝−x＋k"とします。このときkはy切片となりますね。先ほど図示した領域に、傾きが−１の直線をかぶせて、その直線のy切片が最大となる点、最小となる点を求めてみます。



すると、"２x＋y−１０＝０"と"x＋２y−１０＝０"の交点(３，４)を通るときにkの値は最大となり、原点(０，０)を通るときに最小となることがわかります。

"x＋y＝k"なので、kが最大ということはつまりx＋yが最大に、kが最小ということはx＋yが最小になるのと同じことですね。

直線"y＝−x＋k"が(３，４)を通るとき、k＝７(最大値)
直線"y＝−x＋k"が(０，０)を通るとき、k＝０(最小値)