関数ｆ（ｘ）が閉区間［ａ、ｂ］において連続で、開区間（ａ、ｂ）において微分可能であるとします。このとき

これを証明してみましょう。

まず、［ａ、ｂ］において任意の値「ｕ」と「ｖ」を設けます。
この２つの値は「ａ≦ｕ＜ｖ≦ｂ」とします。

ここで平均値の定理を使います。平均値の定理とは、関数ｆ（ｘ）が閉区間［ａ、ｂ］において連続で、開区間（ａ、ｂ）において微分可能であるとき

となる定数ｃが存在する、というものでしたね。つまり
　…①（ｕ＜ｃ＜ｖ）
となるｃが存在することになります。

①を変形して


ここで、冒頭にａ≦ｕ＜ｖ≦ｂであるとしていますので　ｖ－ｕ＞０　…②
そしてこの証明は、（ａ、ｂ）でつねにｆ’（ｘ）＜０であるという条件の上で始まっていますので、ｆ’（ｃ）＞０　…③

②と③より（ｖ－ｕ）ｆ’（ｘ）＜０
このことから




このことから、開区間（ａ、ｂ）においてつねにｆ’（ｘ）＜０ならば、ｆ（ｘ）は閉区間［ａ、ｂ］で単調に減少することがわかります。