分数の恒等式の解き方 / 数学II by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2014-04-04
	分数の恒等式の解き方
著作名：ふぇるまー 71,174 views

分数の恒等式

$\frac{3x+1}{ \left(x+1\right) \left(2x-1\right) } = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{2x-1}$
がxについての恒等式となるよう、定数aとbの値を定めなさい。

分数で恒等式について考えるときにはまず、両辺になにをかけたら分母が消えるかを考えましょう。この場合、(x＋１)(２x−１)を両辺にかけると、分母が消えますね。

左辺は
$\frac{3x+1}{ \left(x+1\right) \left(2x-1\right) } \times \left(x+1\right) \left(2x-1\right)$

右辺は
$\frac{a}{x+1} \times \left(x+1\right) \left(2x-1\right) + \frac{b}{2x-1} \times \left(x+1\right) \left(2x-1\right)$

これを展開して整理すると

３x＋１＝a(２x−１)＋b（x＋１）
３x＋１＝２ax−a＋bx＋b
３x＋１＝(２a＋b)x−a＋b

この式がxについての恒等式となるのは、左辺と右辺の同じ次数の項の係数が等しくなるときなので

・２a＋b＝３
・−a＋b＝１

であればよいですね。この式を解くとa＝２/３、b＝５/３が求まります。

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