楕円の方程式の証明 / 数学III by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2019-03-11
	楕円の方程式の証明
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楕円の方程式

平面上の２つの点FとF'からの距離の和が一定である点Pの軌跡を楕円と言い、この２つの点FとF'のことを楕円の焦点と言います。

上の図のように、２つの点F（ｃ，０）とF'（－ｃ，０）を焦点とし、y軸との交点の座標をB（o,b）とします。このとき、焦点からの距離の和が２aである楕円の方程式と焦点の座標は次のように表せます。

$\frac{x ^{2} }{a ^{2} } + \frac{y ^{2} }{b ^{2} } =1$ 　（ただしa＞ｂ＞０）

$F \left( \sqrt{a ^{2} -b ^{2} } ,0\right)$ ， $\acute{F} \left(- \sqrt{a ^{2} -b ^{2} } ,0\right)$

楕円の方程式の証明

これを証明してみましょう。まず、次のような図を考えます。

条件よりPF+PF'=2a　・・・①

$PF= \sqrt{ \left(x-c\right) ^{2} +y ^{2} }$
$P\acute{F}= \sqrt{ \left(x+c\right) ^{2} +y ^{2} }$

よって①は次のように変形できます。
$\sqrt{ \left(x-c\right) ^{2} +y ^{2} }+\sqrt{ \left(x+c\right) ^{2} +y ^{2} } =2a$

これを変形して
$\sqrt{ \left(x-c\right) ^{2} +y ^{2} }=2a-\sqrt{ \left(x+c\right) ^{2} +y ^{2} }$

両辺を２乗して整理していきます。
$\left(\sqrt{ \left(x-c\right) ^{2} +y ^{2} } \right)^{2}= \left(2a-\sqrt{ \left(x+c\right) ^{2} +y ^{2} }\right)^{2}$
$\left(x-c\right) ^{2} +y ^{2} =4a ^{2} -4a \sqrt{ \left(x+c\right) ^{2} +y ^{2} } + \left(x+c\right) ^{2} +y ^{2}$
$x ^{2} -2cx+c ^{2} =4a ^{2} -4a \sqrt{ \left(x+c\right) ^{2} +y ^{2} } +x ^{2} +2cx+c ^{2}$
$4a \sqrt{ \left(x+c\right) ^{2} +y ^{2} } =4a ^{2} +4cx$
$a \sqrt{ \left(x+c\right) ^{2} +y ^{2} } =a ^{2} +cx$

ここでまた両辺を２乗して整理します。
$\left(a \sqrt{ \left(x+c\right) ^{2} +y ^{2} } \right)^{2}=\left(a ^{2} +cx\right)^{2}$
$a ^{2} \left(x+c\right) ^{2} +a ^{2} y ^{2} =a ^{4} +2a ^{2}cx +c ^{2} x ^{2}$
$a ^{2} x ^{2} +2a ^{2} cx+a ^{2} c ^{2} +a^{2}y ^{2} =a ^{4} +2a ^{2} cx+c ^{2} x ^{2}$
$a ^{2} x ^{2} -c ^{2} x ^{2} +a ^{2} y ^{2} =a ^{4} -a ^{2} c ^{2}$
$x ^{2} \left(a ^{2} -c ^{2} \right) +a ^{2} y ^{2} =a ^{2} \left(a ^{2} -c ^{2} \right)$ 　・・・②

a＞cより $\sqrt{a ^{2} -c ^{2} } =b$ 　とおくと、
a＞ｂ>0より $a^{2}-c^{2}=b^{2}$ 　なので②式は
$b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$
両辺を $a^{2}b^{2}$ で割ると
$\frac{x ^{2} }{a ^{2} } + \frac{y ^{2} }{b ^{2} } =1$
であることが求まります。

焦点の座標の証明

先ほどの証明で、　 $a^{2}-c^{2}=b^{2}$ 　とおきました。
これを変形して、　 $a^{2}-b^{2}=c^{2}$
ａ＞ｂ＞０より
$c= \sqrt{a ^{2} -b ^{2} }$ 　・・・③

２つの焦点はF（ｃ，０）とF'（－ｃ，０）とおかれていたので、③を代入して
$F \left( \sqrt{a ^{2} -b ^{2} } ,0\right)$ ， $\acute{F} \left(- \sqrt{a ^{2} -b ^{2} } ,0\right)$
が求まります。

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