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更新日時:
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高校数学 平方根の公式とその証明 |
著作名:
ふぇるまー
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平方根の公式
平方根を含んだ式を計算するためには、次の計算法則を覚えておく必要があります。
a>0、b>0、k>0のとき

実際にこれらの公式が成り立つか、それぞれ証明をしていきます。
証明
■√a√b=√ab
左辺を2乗します。
左辺²=(√a√b)²
指数の計算法則より
設問の条件、a>0、b>0より√a>0、√b>0。
このことから√a√b>0なので、√a√bは、abの正の平方根であることがわかりました。
一方で右辺の"√ab"もまたabの正の平方根であることから
が成り立ちます。
■√a/√a=√a/b
左辺を2乗します。
左辺²=(√a/√b)²
指数の計算法則より
設問の条件、a>0、b>0より√a>0、√b>0。
このことから√a/√b>0なので、√a/√bは、a/bの正の平方根であることがわかりました。
一方で右辺の"√a/b"もまたa/bの正の平方根であることから
が成り立ちます。
■√k²a=k√a
先ほど証明した"√a√b=√ab"より
(√a²)=|a|より√k²√aは
設問の条件よりk>0なので、絶対値をはずすと
以上のことから
は成り立ちます。
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