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更新日時：
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工夫して展開する練習問題[式の展開] |
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著作名：
ふぇるまー
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式の展開
式を展開するときに、ちょっとした工夫をすることで楽に展開ができるようになります。練習問題を解きながら、楽に展開をする方法を身につけていきましょう。
練習問題
問題 次の式を展開せよ
（１） (ｘ＋１)(ｘ＋２)(ｘ－１)(ｘ－２)
（２） (a＋b)²(a－b)²
（１） (ｘ＋１)(ｘ＋２)(ｘ－１)(ｘ－２)
（２） (a＋b)²(a－b)²
■（１） (ｘ＋１)(ｘ＋２)(ｘ－１)(ｘ－２)
ここでは、項の順番を並び替えることで計算を考えてみます。
"(ｘ＋１)(ｘ＋２)(ｘ－１)(ｘ－２)"を並び替えて"(ｘ＋１)(ｘ－１)(ｘ＋２)(ｘ－２)"とします。
"(ｘ＋１)(ｘ－１)"と"(ｘ＋２)(ｘ－２)"の展開は、"(a＋b)(a－b)=a²－b²"という乗法公式で展開ができそうですね。
(ｘ＋１)(ｘ－１)(ｘ＋２)(ｘ－２)＝（ｘ²－１）（ｘ²－４）
続いて（ｘ²－１）（ｘ²－４）を展開していきます。
この展開は、"（ｘ＋a）（ｘ＋ｂ）＝ｘ²＋（a＋b）ｘ＋ab"という乗法公式を用いて行います。
（ｘ²－１）（ｘ²－４）
＝（ｘ²）＋（－１－４）ｘ²＋（－１）×（－４）
＝ｘ⁴－５ｘ²＋４
"(ｘ＋１)(ｘ＋２)(ｘ－１)(ｘ－２)"を１つ１つ展開するよりも、時間を節約して解くことができますね！
■（２） (a＋b)²(a－b)²
■解法１
ここでも項の順番を並び替えてみましょう。
（a＋b）²（a－b）²
＝（a＋b）（a＋b）（a－b）（a－b）
＝（a＋b）（a－b）（a＋b）（a－b）
（a＋b）（a－b）を先に計算すると
（a＋b）（a－b）（a＋b）（a－b）
＝（a²－b²）（a²－b²）
＝（a²－b²）²
"(a+b)²=a²+2ab+b²"という乗法公式より
（a²－b²）²
＝（a²）²－２a²b²＋（b²）²
＝a⁴－２a²b²＋b⁴
■解法２
別の解き方としては、
(a＋b)²(a－b)²＝｛(a＋b)(a－b)｝²
であることを覚えておくと便利でしょう。
指数法則で、"（ab)²＝a²b²"でしたね。
逆に考えると、"a²b²＝（ab)²"ということになります。
ここで、ややこしいですが、aを（a＋b）に、bを（a－b）に置き換えてみます。すると
（a＋b）²（a－b）²＝｛（a＋b）（a－b）｝²
が成り立つことがわかります。このことから
(a＋b)²(a－b)²を見た瞬間に、"(a＋b)²(a－b)²＝｛(a＋b)(a－b)｝²"と考えて構いません。
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