立体すべての面の面積の合計のことを表面積と言います。例えば次の三角錐の表面積を考えてみましょう。


「表面積を求めよ」という場合は、右図のように展開をして、４つの面の面積を１つずつ求めてそれらを足すことで、角錐の表面積が求まります。




では早速、練習問題を解いてみましょう。応用問題です。角錐ではなく円錐の表面積を実際に求めてみましょう。次に与えられた条件だけで、円錐の表面積を求めることができるでしょうか。






円錐を展開すると、次のようになります。わかりやすくするために、点O、点A、点Bを図のようにおきます。


この図から、扇の面積と円の面積をそれぞれ求めて、足したものが円錐の表面積であることがわかりますね。


扇の面積を求める公式は、



でしたね。しかし中心角αの値はこの問題では与えられていないため、この公式を使うのはむずかしいような気がします。ではちょっとアプローチをかえてみましょう。

ポイントにも書きましたが、円錐を展開したときに、底面の円の円周と扇の弧の長さが同じという性質を利用します。

円の円周は、



扇OABの弧の長さは、公式より



となります。これらの値が同じになるので



という式がたてられますね。この式を計算して



が求まります。さて、ようやく扇の中心角の値がわかりました。これを使って扇の面積を求めましょう。扇の面積は、




そして底面の円の面積は、




この２つの面積の合計が円錐の表面積となります。



（答）２８π