半径と弧の長さから扇の面積を求める方法 / 中学数学 by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2012-06-02
	半径と弧の長さから扇の面積を求める方法
著作名： OKボーイ 132,903 views

はじめに

半径が「ｒ」、中心角が「θ」である扇の面積「Ｓ」は
$S= \pi r ^{2} \times \frac{ \theta }{360}$
で求めることができましたね。

ここでは、中心角「θ」がわからなく、その代わりに弧の長さ「ｌ」がわかっている時でも扇の面積を求める公式を紹介しましょう。
半径「ｒ」、弧の長さが「ｌ」の扇の面積「Ｓ」は次のように求めることができます。

$S= \frac{1}{2} rl$

この公式を実際に求めてみましょう。

公式を導く

まず、半径「ｒ」、中心角「θ」だけがわかっている弧の長さ「ｌ」は
$l=2 \pi r \times \frac{ \theta }{360}$ 　…①

また扇の面積「Ｓ」は
$S= \pi r ^{2} \times \frac{ \theta }{360}$ 　…②

まず①を変形して「πｒ＝…」の形にします。
$\pi r= \frac{1}{2} \times l \times \frac{360}{ \theta }$ 　…③

同様にして②も変形して「πｒ＝…」の形にします。
$\pi r= \frac{S}{r} \times \frac{360}{ \theta }$ 　…④

③と④より
$\frac{1}{2} \times l \times \frac{360}{ \theta } = \frac{S}{r} \times \frac{360}{ \theta }$

これを整理すると
$S= \frac{1}{2} rl$
が求まりますね。

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