(cos x)'=-sin xの証明 / 数学III by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2012-06-02
	(cos x)'=-sin xの証明
著作名： OKボーイ 49,303 views

はじめに

ここでは、 $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin x}{x} =1$ 　
であることを用いて、(cos)'=-sinxの証明を行なってみましょう。

(cos)'=-sinxの証明

$\acute{f} \left(x\right) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f \left(x+h\right) -f \left(x\right) }{h}$
なので、これにcosxを当てはめてみます。
$\cos \acute{x}= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \cos \left(x+h\right) - \cos \left(x\right) }{h}$ 　…①

あここで加法定理より
$\cos\left(x+h)= \cos x \cos h-\sin x\sin h$ 　
なのでこれを①に代入します。①の右辺は
$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \cos x \cos h- \sin x \sin h- \cos x}{h}$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \cos x \left( \cos h-1\right) - \sin x \sin h}{h}$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \cos x \cdot \frac{ \cos \left(h-1\right) }{h} - \lim_{h \rightarrow 0} \sin x \cdot \frac{ \sin h}{h}$ 　…②

ここで、coshは１に収束し、 $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin x}{x} =1$ 　なので②式は

$=- \sin x$ 　となります。

以上のことから
（cosx）'=-sinx　が成り立つことが証明されました。

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