(sinx)'=cosxの証明 / 数学III by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2012-06-02
	(sinx)'=cosxの証明
著作名： OKボーイ 28,770 views

(sinx)'=cosxの証明

$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin x}{x} =1$
を利用して、(sinx)'=cosxの証明を行なってみましょう。

証明

左辺
$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin \left(x+h\right) - \sin x}{h}$ 　…①

$\sin \left(x+h\right)$ 　を加法定理に従って展開すると
$\sin \left(x+h\right) = \sin x \cos h+ \cos x \sin h$ 　
なので①式は
$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin x \cos h+ \cos x \sin h- \sin x}{h}$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin x \cos h- \sin x+ \sin h \cos x}{h}$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{ \sin x \left( \cos h-1\right) }{h} + \frac{ \cos x \sin h}{h} \right)$ …②

■ここで焦点を変えて

ここで
$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \cos h-1}{h}$
に注目をします。分子分母に(cosh+1)をかけて

$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \left( \cos h-1\right) \left( \cos h+1\right) }{h \left( \cos h+1\right) }$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \cos ^{2} h-1}{h \left( \cos h+1\right) }$ 　…③

$\sin ^{2} h+ \cos ^{2} h=1$ 　より
$\cos ^{2} h=1- \sin ^{2} h$ 　
なので③式は

$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1- \sin ^{2} -1}{h \left( \cos h+1\right) }$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{- \sin ^{2} }{h \left( \cos h+1\right) }$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \left(- \sin h \times \sin h \times \frac{1}{h} \times \frac{1}{ \cos h+1}\right)$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \left(- \sin h \times \frac{ \sin h}{h} \times \frac{1}{ \cos h+1}\right)$ 　…④

ここで設問より
$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin x}{x} =1$ 　
なので④式は、
$= \lim_{h \rightarrow 0} \left(- \sin h \times \frac{ \sin h}{h} \times \frac{1}{ \cos h+1}\right)$
$=-0 \times 1 \times \frac{1}{1+1} =0$ 　…⑤

■ここでようやく②式に戻ります。

$= \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{ \sin x \left( \cos h-1\right) }{h} + \frac{ \cos x \sin h}{h} \right)$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \left( \sin x \cdot \frac{ \cos h-1}{h} + \cos x \cdot \frac{ \sin h}{h} \right)$

⑤より
$= \lim_{h \rightarrow 0} \left( \sin x \cdot \frac{ \cos h-1}{h} + \cos x \cdot \frac{ \sin h}{h} \right)$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \left( \sin x \cdot 0+ \cos x \cdot 1\right)$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \cos x$

ｘは変数ではないので
$\lim_{h \rightarrow 0} \cos x=cosx$

以上のことから「(sinx)'=cosx」が成り立つことがわかりましたね！

このテキストを評価してください。

役に立った

う～ん・・・

※テキストの内容に関しては、ご自身の責任のもとご判断頂きますようお願い致します。

このテキストのキーワード

同じカテゴリーのテキスト

(cos x)'=-sin xの証明

指数関数の導関数～累乗根の入った関数～

最近見たテキスト

(sinx)'=cosxの証明

10分前以内

デイリーランキング

	古文単語「うるはし/麗し/美し」の意味・解説【形容詞シク活用】	>
	現代とで意味の異なる言葉　その１	>
	Lesson4 Part1 Chanel's Style	>
4	アフロアジア語族　世界史用語87	>
5	テストに出る！対数関数の最大値と最小値を求める計算問題	>
6	プレートテクトニクスとは	>
7	話題のニュースを英語で読もう【難民】は英語で言うと何？	>
8	海の民とは　世界史用語172	>
9	オイルショックの背景	>
10	顕微鏡をつかうときの注意点	>

注目テキスト

古文単語「とがむ/咎む」の意味・解説【マ行下二段活用】	>
蜻蛉日記原文全集「さてかの心もゆかぬ司の宮より」	>
アメリカ合衆国発展の歴史　①　連邦派と反連邦派の対立と領土の拡大	>
直線上における内分点と外分点	>
枕草子　原文全集「わびしげに見ゆるもの」	>
三角比の公式　tanA=sinA/cosAの証明	>
古文単語「おほきなり/大きなり」の意味・解説【形容動詞ナリ活用】	>
枕草子　原文全集「職の御曹司におはしますころ、西の廂にて」其の二	>
古文単語「まかる/罷る」の意味・解説【ラ行四段活用】	>
蜻蛉日記原文全集「九十月もおなじさまにて」	>