３次方程式の解の数に合わせて定数を決める / 数学II by OKボーイ |マナペディア|

３次方程式の解の数に合わせて定数を決める

ａを定数とするとき、
$x^{3}-3x^{2}+a=0$ 　が３つの異なる解を持つａの範囲について考えてみましょう。

■考え方

・ $a=-x^{3}+3x^{2}$ 　となるので、この方程式は $y=-x^{3}+3x^{2}$ におけるｘ軸との交点のｘ座標が解となるのと等しい

・ $f(x)=-x^{3}+3x^{2}$ 　とし、微分して増減表を作ってみる

・グラフを描いてみる

■解法

$f(x)=-x^{3}+3x^{2}$ としたとき、
$\acute{f}(x)=-3x^{2}+6x=-3x(x-2)$ 　となるので
増減表は次のようになります。

そしてグラフは次のようになります。

このグラフにｙ＝ａを重ねた時に、ｙ＝ｆ（ｘ）とｙ＝ａとの交点が３つになる範囲が、 $x^{3}-3x^{2}+a=0$ 　が解を３つもつためのａの範囲となります。
このような範囲は、０＜ａ＜４となりますね。

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